阻尼波動方程的調和分析方法研究

《阻尼波動方程的調和分析方法研究》是依託杭州電子科技大學，由張純潔擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：阻尼波動方程的調和分析方法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張純潔
• 依託單位：杭州電子科技大學

項目摘要

本項目的研究對象是阻尼波動方程，此方程較經典波方程更具有實際套用背景，且近十多年來出現了關於此方程的大量理論研究成果，主要涉及解的適定性、爆破性對於此方程人們特別關注的能量隨時間的衰減性質等。我們發現目前文獻中對阻尼波動方程的研究均採用傳統的偏微分方程研究手法，而本項目我們將完全利用調和分析的手段對此方程進行研究。我們將從線性形式的阻尼波動方程解的具體形式出發，先建立解運算元的核函式所滿足的各種估計式，接著利用這些估計式獲得解運算元的各種能量估計及時空估計，再利用這些能量估計及時空估計研究在各種非線性項下的非線性阻尼波動方程的解適定性問題以及能量隨時間的衰減問題。另外我們還將在其它一些重要的函式空間，如Hardy空間、Triebel-Lizorkin空間及模空間中討論阻尼波動方程的性質。

結題摘要

本項目研究的帶阻尼項波動方程是一個非常基礎的數學模型，方程形式由在經典波動方程上進一步考慮介質阻力而得到，因而比經典波方程更具有實際套用背景，最近二十年來出現了關於此方程的大量理論研究成果，主要涉及解的適定性、爆破性等，其中學者們特別關注的問題有兩個，一是振動能量隨時間的衰減性質，二是在Fujita指標之上解的整體存在性。 之前文獻中對阻尼波動方程的研究均採用傳統的偏微分方程研究手法，在本項目研究過程中，我們充分利用調和分析的手段，從線性形式的阻尼波動方程解的具體形式出發，先建立了解運算元的核函式所滿足的各種大小估計式，利用這些估計式獲得解運算元的各種能量估計及時空估計，最後把這些能量估計及時空估計用以研究在各種非線性項下的非線性阻尼波動方程的解適定性問題以及能量隨時間的衰減問題。我們所討論的能量估計也在更加廣泛的各類函式空間，如Hardy空間、Triebel-Lizorkin空間及模空間中加以討論，並且在之前學者們還未涉及的模空間上，也較為系統地討論帶阻尼項波動方程解的理論，得到了很多與其它函式空間上不同的解的性質。 本項目中取得的結果，與之前相關此方程研究相比，創新的地方主要體現在：首先，用調和分析方法得到的各種基本估計式較為精確，比如用來證明Fujita指標之上解的整體存在性結果，能夠還原目前已有的大部分重要結果，並得到了新的結果，有望把這個問題列推進一步；其次，研究此類方程的Strichartz型估計式，用這類估計式研究非線性方程解的適定性時，可以大大降低對方程初始值的正則性要求；第三是，我們首次在模空間中，對這類方程加以系統研究，得到了在多種初值要求下，非線性方程在模空間上解的適定性問題，並且認為，解決非緊支集初值問題時，Fujita指標之上解的整體存在性，可能可以在模空間中加以解決；最後，我們建立了與方程相應的幾個解運算元在Hardy空間、Triebel-Lizorkin空間中的有界性，目前未找到其套用，但類比於其它色散型方程已有的結果，這些有界性有其自身的意義。