關節點

關節點是指在某圖中，如果刪除頂點V以及V相關的邊後，圖的一個連通分量分割為兩個或兩個以上的連通分量，則稱頂點V為該圖的一個關節點。

英文對照

articulation point;articulare;

定義及套用

在某圖中，若刪除頂點V以及V相關的邊後，圖的一個連通分量分割為兩個或兩個以上的連通分量，則稱頂點V為該圖的一個關節點。一個沒有關節點的連通圖稱為重連通圖。

在重連通圖中，任意一對頂點之間至少存在兩條路徑，則再刪去某個頂點即相關各邊後也不破壞圖的連通性。若在圖的連通圖上刪去k個節點才能破壞圖的連通性，則稱K為此圖的連通度。

他們常常在通信網路的圖或航空網中套用，K越大，系統越穩定，反之，戰爭中若要摧毀敵方的運輸線，只須破壞其運輸網中的關節點即可。

求解算法

利用深度優先搜尋便可以求的圖的關節點，本由此可判別圖是否重連通。

從任一點出發深度優先遍歷得到優先生成樹，對於樹中任一頂點V而言，其孩子節點為鄰接點。由深度優先生成樹可得出兩類關節點的特性：

（1）若生成樹的根有兩棵或兩棵以上的子樹，則此根頂點必為關節點。因為圖中不存在連線不同子樹頂點的邊，若刪除此節點，則樹便成為森林。

（2）若生成樹中某個非葉子節點V，其某棵子樹與V的祖先節點無連線，則V為關節點。因為刪去v，則其子樹和圖的其它部分被分割開來

定義

low[v] 設對連通圖G=（V,E）進行先深搜尋的先深編號為dfn[v]，產生的先深生成樹為S=（V,T），B是回退邊之集。對每個頂點v，low[v]定義如下

low[v]=Min{dfn[v],Min{low[w]|w是v的一個子女}，Min{dfn[x]|（v，x）是一條回邊}}//dfn數組記錄頂點的深度優先數

算法： 求無向圖的雙連通分量

輸入：連通的無向圖G=( V, E )。L[v]表示關於v的鄰接表

輸出：G的所有雙連通分量，每個連通分量由一序列的邊組成。

算法要點

1.計算先深編號：對圖進行先深搜尋，計算每個結點v的先深編號dnf[v]，形成先深生成樹S=（V,T）。

2.計算low[v]：在先深生成樹上按後根順序進行計算每個頂點v的 low[v]， low[v]取下述三個結點中的最小者：

(1) dfn[v]；

(2) dfn[w]，凡是有回退邊（v,w）的任何結點w；

(3) low[y]，對v的任何兒子y。

3.求關節點：

(1)樹根是關節點，若且唯若它有兩個或兩個以上的兒子（第一類關節點）；

(2)非樹根結點v是關節點若且唯若v有某個兒子y，使low[y]≥dnf[v]（第二類關節點）。

求雙連通分量的算法――同先深搜尋算法（略）