關於群上的短零和序列及其cross number的研究

《關於群上的短零和序列及其cross number的研究》是依託中國礦業大學，由王林林擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：關於群上的短零和序列及其cross number的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：王林林
• 依託單位：中國礦業大學

項目摘要

零和理論是組合數論中熱門的研究領域,套用非常廣泛, 相關的結果被套用到許多其他數學領域，這包括代數數論、離散幾何、圖論及Ramsey理論等。零和理論的主題是研究零和序列，也就是在加法交換群G中，元素之和為零元的序列。那么對於各種具有不同性質的零和序列的研究是零和理論中的一個重要課題，而計算對應產生的不變數成為零和理論研究中的重要工作。本項目主要研究有關cross number的幾個不變數;在群G上，一個序列S的cross number 定義為S中所有元素的階的倒數之和。本項目從零和理論中幾個核心的常數與零和基本等式出發，綜合使用來自代數、圖論、數論、組合數學以及機率的工具和方法對不變數t(G)和\eta (G) 進行研究。希望通過本項目的探索，取得一些較好的研究結果，進而推進和豐富零和理論的研究。

結題摘要

本項目的研究是建立在零和理論中經典問題的基礎上，對於零和理論的發展具有推動作用。主要研究內容及結果如下： 零和理論中重要的問題之一就是研究各種不變數如D(G), s(G),t(G),η(G)，而確定不變數的值是困難的，從而確定上述不變數之間的關係也是具有重要意義的。目前關於不變數t(G)、η(G)、s(G)的關係已有如下兩個猜想： t(G)=η(G),其中G是秩為2的有限交換群； s(G)=η(G)+exp⁡(G)-1其中G是任意的有限交換群。 本項目從特殊群出發，首先驗證並證明了當群G是C_2⊕C_2⊕C_2p時猜想成立，並對特殊群上的極小零和序列結構給出刻畫。 在研究唯一分解序列及微零和序列時遇到困難，一籌莫展之時，將問題的前提稍作變換，考慮了交換半群上的相關問題，首先研究了Erdos-Burgess常量，其被定義為最小的一個正整數，使得所有長度大於這個數的序列均包含和是冪等元的子序列。對於一般的半群環，本項目給出了一個緊的下界，並且對於階為素數冪的交換半群給出了Erdos-Burgess常量的精確值。 設S是一個有限半群，E(S)為S中所有冪等元的集合。Gillam, Hall 和Williams在1972年證明了長度大於等於|S|-|E(S)|+1的序列必然包含和為冪等元的子序列，在此基礎上，本項目刻畫了不含和為冪等元的子序列的序列結構。關於循環半群上的Erdos-Burgess常量的研究，本項目給出了該常量為有限值時的充要條件，且當該常量有限時，給出了緊的上下界。