《關於弱化希爾伯特第十六問題的研究》是依託北京大學，由李承治擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：關於弱化希爾伯特第十六問題的研究
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：李承治
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Hilbert第16問題（n次多項式系統極限環個數的最小上界問題）是一百多年來沒能解決的重大難題之一。Arnold於1977提出它的弱化形式，即把這個問題限制到Hamilton擾動系統的範圍內考慮，這包括Hamilton多項式系統的擾動，和可積非Hamilton多項式系統的擾動。在國內外數學家歷經十年的艱苦工作下，二次Hamilton系統在二次擾動下的問題在2002年獲得解決。但對可積非Hamilton系統的擾動問題即使在n=2的情形也遠未取得突破,對n＞2情況的研究在兩種情況下都只有零散結果。經過多年工作，我們對二次可逆系統環性問題的研究已取得進展，並得到國際同行的認可。本項目擬以弱化Hilbert問題為目標，在原有工作的基礎上繼續取得研究方法與技巧上的創新，爭取在可逆系統的擾動問題上取得突破，並努力在弱化Hilbert第16問題的其它方面取得較大的進展。
結題摘要
Hilbert第16問題尋求平面n次多項式系統可能具有的極限環最大個數和相對位置，提出一百多年來已有大量研究，但尚無大的突破。1977年Arnold提出其弱化形式，把問題限制在接近Hamilton系統的範圍內。此弱化問題在n=2的情形已基本解決，Yakovenko等人對任意n用兩重指數函式給出一個上界，但離問題的真正解決還有很大距離。另一方面，需要把問題擴大到接近可積系統的範圍內，此時即使n=2的情形也沒有完全解決。我們在本項研究工作中的主要結果有：（1）對某些可積系統的擾動問題，通過研究相應Abel積分的零點個數得到極限環個數的估計。（2）對n=3的某些情形進行了研究。（3）研究了一類余維3的Bogdanov-Takens分支。（4）研究弱化Hilbert第16問題的基本工具是Abel積分，其理論基礎是著名的Poincaré–Pontryagin定理。我們把此定理從二維系統推廣到三維系統，可用於研究某些三維系統在其二維不變流形上的周期解個數。（5）對二維奇異攝動理論中慢發散量積分這個關鍵公式做了改進，並用它完滿地解決了一些困難的問題，包括用動力系統和分支理論的方法解決一些生物數學的問題。（6）對Lins-de Melo-Pugh猜想（Hilbert第16問題的一個著名的子問題）在n=5這一唯一沒有結果的情形，給出部分結果。
