長球波函式

在數學中，長球波函式由一個限時、限頻、與第二個限時的函式相乘而成。

基本介紹

• 中文名：長球波函式
• 外文名：Prolate spheroidal wave function
• 分類：數理科學

簡介

假定表示一個切截時間的運算器，且，則x必為有限時間區間的函式，當x在的區間內。同理，假定表示一個理想的低頻濾波器，且，則x必為有限頻寬區間的函式，當x在的區間內。透過組合上述運運算元，使得轉變成線性、有界且自伴的運算式。對於，我們假設為第n項的本徵函式，定義下列函式

其中為對應的本徵值。此時限函式即為長球波函式(PSWFs).

推導

這些函式有些不同的意涵，當在解亥姆霍茲方程，透過在長球面坐標系做變數分離，使得各代表：

得到解為長球波函式與角球波函式的成積乘上. 這裡的變數c可定義為, with 為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。

徑向波(The radial wave function)滿足線性常微分方程:

此本徵值在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定為有限函式，當

角波函式滿足下列微分方程：

這跟徑向波函式式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函式中，在角波函式中。

當給定，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定，角波函式可被展開成勒讓德級數。

注意，如果我們將角波函式寫成，函式將滿足以下線性微分方程：

此函式為球波函式。

發展

現存不少不同的球函式標準化的方法，在Abramowitz and Stegun。的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。

一開始，球波函式是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函式的很多面向，例如Strutt,Stratton et al.,Meixner and Schafke,and Flammer.等人的作品。

Flammer提供了一個完整的討論，計算出長球與扁球的本徵值、角波函式與徑函式。許多電腦程式已經因應發展出來，其中包含King與其團隊,Patz和Van Buren,Baier與其團隊,Zhang和Jin,Thompson,、Falloon.Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函式，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。

Flammer,Hunter,Hanish et al.,and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。

NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函式的良好資源。

關於值域落在單位球的表面的長球波函式，我們通稱為"Slepian functions"(另見“頻譜集中問題”)。這函式存在非常多的套用，像是大地測量以及宇宙學。