重量計數子

重量計數子(weight enumerator)是對碼的一種度量刻畫，它是碼的重量分布的生成多項式，設q元[n，k]線性碼C中重量為i的碼字有A_i個，i=0，1，…，n，則稱數列(A₀，A₁，…，A_n)為碼C的重量分布，而稱多項式A(z)=A₀+A₁z+…+A_nzⁿ為碼C的重量計數子。當C的極小重量為w時，A_ωz^w就是A(z)中除常數項外次數最低的項，因此從C的重量計數子可以得到它的極小重量，對於線性碼而言，極小重量與極小距離相等，因而對判別碼的檢錯能力與糾錯能力十分重要，對此，麥克威廉斯定理提供了一個有效的方法。

基本介紹

• 中文名：重量計數子
• 外文名：weight enumerator
• 所屬學科：數學（組合設計）
• 簡介：碼的重量分布的生成多項式

基本介紹

線性碼的極小距離告訴我們，一個接收字可以含多少個差錯但我們仍能正確解碼。對碼的距離作更詳細的了解常常是很有必要的。為此，我們引入所謂碼的重量計數子的概念。

定義設C是長為n的線性碼，A_i是重量為i的碼字的個數，則

稱為C的重量計數子，序列稱為C的重量分布。

舉例說明

作為例子，我們計算長為n的二元Hamming碼的重量計數子。考慮這個碼的奇偶校驗矩陣的i-1個列，共有3種可能：

(i)這個列之和為0；

(ii)這些列之和是其中某一列；

(iii)這些列之和是餘下的列中某一列。

選取i-1個列共有 種方法，其中情況(i)出現A_i-1,次，情況(ii)出現(n-(i-2))A_i-2次，情況(iii)出現iA_i次，所以

此式在i>n+1時顯然成立，兩邊同乘z^i-1，並對i求和，我們發現

因為A(0)=1，這個微分方程有唯一解：

相關定理

編碼理論中一個最基本的結論是屬於F.J.MacWiUiams(1963)的，它給出了一個線性碼的重量計數子與其對偶碼的重量計數子之間的關係。

定理 設C是F_q上一個[n，q]碼，重量計數子為A(z)，又設B(z)是C^⊥的重量計數子，那么