重模同餘式(congruence with respect to double modulus)是同餘式的一種推廣，給定素數p和多項式φ(x)，若f1(x)-f2(x)為φ(x)之倍式mod p，則稱f1(x)與f2(x)對重模p，φ(x)同餘，記為f1(x)≡f2(x)(mod dp，φ(x))。例如x+3x+x+4x+3≡0(mod d5，2x-3)。重模同餘式有下述性質：1.重模同餘是一種等價關係，即具有自反性、對稱性和傳遞性。2.若f(x)≡g(x)，f1(x)≡g1(x)(mod dp，φ(x))，則f(x)±f1(x)≡g(x)±g1(x)(mod dp，φ(x))，f(x)f1(x)≡g(x)g1(x)(mod dp，φ(x))。3.設φ(x)對p之次數為n，任一多項式必與下列多項式a1+a2x+…+anx(0≤ai≤p-1)之一重模同餘。
基本介紹
- 中文名：重模同餘式
- 外文名：congruence with respect to double modulus
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：初等數論(同餘式)
- 簡介：同餘式的一種推廣
基本介紹,重模同餘式的性質,性質1,性質2,性質3,
基本介紹
下面討論的多灶踏體雅項式皆為整係數多項式，M為正整數奔局捆拒。
定義1 若兩多項式f(z)和g(z)之對應係數皆關於模M同餘，則稱此兩多項式關於模M同餘，以
f(z)≡g(z)modM
表示。
例如
7z+8z+2z+10≡3z+2z+2mod4.
定義2 設f1(z)，f2(z),φ(z)是多項式，若存在多項式u(z)，使
f1(z)-f2(z)=u(z)φ(z)modM,
則稱f1(z)和f2(z)關於重模M,φ(z)同餘，記作
f1(z)≡f2(z)(moddM，φ(x)).
例如
7z+8z+2z+10≡2z-1modd4,z+1.
重模同餘式的性質
性質1
1) f(z)≡f(z)moddM,φ(z)；
2) 若f(z)≡g(z)modM,φ(z)，則g(z)≡f(z )moddM,φ(z)；
3) 若f(z)≡g(z)moddM, φ(z), g(z)≡h(z )moddM,φ(z)，則f(z)≡h(z)moddM，φ(z)；
4) 若f1(z)≡g1(z)moddM, φ(z), f2(z)≡g2(z)moddM,φ(z)，則
f1(z)±f2(z)≡頸贈樂g1(z)±g2(z)(moddM，φ(z))，
f1(z)f2(z)≡g1(z)g2(z)(moddM，φ(z))；
5) 設狼煉φ(z)的首項係數為1，關於模M的次數為n, 則任一多項式必與下列多項式之一
a0+a1z+…+an-1z(0≤ai≤M-1)
關於重模M,φ(z)同餘，並且這M個多項式關於重模M,φ(z)兩兩互不同餘。
性質1容易用定義證明。
性質2
1)若f(z)≡0 moddM，φ(z)，若且唯若存在多項式u(z)和v(z)，使
f(z)=u(z)φ(z)+ Mv(z)；
2)若f(z)≡0 moddaM，φ(z)，a為非零整數，則f(z)≡0 moddM，φ(z)；
3)若af(z)≡0 moddaM，φ(z),a為非零整數，φ(z)是Za[z]中的非零因子，則
f(z)≡0 moddM，φ(z)；
4)若f(z)≡0 moddM，斷棵糊φ(z)，則對任何整數a，有af(z)≡0 moddaM，φ(z)。
性質3
1) 若(M1,M2)=1，且f(z)≡0 moddMi，φ(z)(i=1,2)，則f(z)≡0 moddM，φ(z)，這裡M = M1M2；
2) 設M1，M2，.，Mn是兩兩互素的非零整數，M=M1M2...Mn，設漏兵則罪主踏方程組
3)若af(z)≡0 moddaM，φ(z),a為非零整數，φ(z)是Za[z]中的非零因子，則
f(z)≡0 moddM，φ(z)；
4)若f(z)≡0 moddM，φ(z)，則對任何整數a，有af(z)≡0 moddaM，φ(z)。
性質3
1) 若(M1,M2)=1，且f(z)≡0 moddMi，φ(z)(i=1,2)，則f(z)≡0 moddM，φ(z)，這裡M = M1M2；
2) 設M1，M2，.，Mn是兩兩互素的非零整數，M=M1M2...Mn，則方程組
