近Kenmotsu流形的曲率與Ricci孤立子

《近Kenmotsu流形的曲率與Ricci孤立子》是依託河南師範大學，由王雅寧擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：近Kenmotsu流形的曲率與Ricci孤立子
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：王雅寧
• 依託單位：河南師範大學

項目摘要

本項目擬運用微分流形上的張量分析法和活動標價法並結合李代數中的相關理論與結果，研究近Kenmotsu流形的曲率與Ricci孤立子。一方面，完全刻畫近Kenmotsu流形在局部對稱和共形對稱條件下的曲率與局部分類，尋找存在近Kenmotsu結構的3維李群並研究其局部結構和分類定理。另一方面，首次在近Kenmotsu流形上討論近梯度Ricci孤立子的存在性及其分類問題，以及復幾何中著名的Goldberg-猜想在近Kenmotsu流形上的對偶問題。項目預期研究結果將深刻揭示近切觸度量結構與孤立子存在性之間的關係以及近切觸度量流形許多內在的幾何與拓撲性質。

結題摘要

近切觸度量流形作為近Hermitian流形在奇數維流形的對應，在上世紀五十年代被提出來，隨後立刻成為微分幾何里的重要研究對象。特別是最近幾十年來，許多學者從拓撲的、幾何的或者分析的角度研究這類流形，提出並且解決了大量重要的問題。伴隨著此領域內的一些重要結果越來越多，時至今日近切觸幾何逐漸成為微分幾何里最熱門的研究分支之一。本項目將此類流形作為主要研究對象，藉助張量分析和幾何分析方法深入討論它們的幾何結構和拓撲性質。 本項目的主要研究結果是近Kenmotsu流形和近coKaehler流形的一些分類問題，推廣了一些經典結果並且部分解決了一些公開問題。一方面，如果三維近Kenmotsu流形和近coKaehler流形滿足一些對稱條件，比如局部對稱、Ricci運算元是循環平行的，Ricci運算元是eta-平行的等，我們完全刻畫了其曲率張量並給出了這些流形的局部分類。我們首次給出了三維近Kenmotsu流形和C-近Kenmotsu流形上的Reeb向量場為極小向量場的充分必要條件。我們給出了滿足兩類零分布條件的近Kenmotsu流形在Ricci半對稱下的分類並且推廣了這類流形在黎曼半對稱下的分類結果,證明了這兩種對稱與偽對稱和擬弱對稱之間的等價性。我們完成了三維近coKahler流形在滿足循環平行Ricci張量或者調和曲率張量條件下的局部分類，推廣了Perrone等人的相關結果。我們還討論了共形平坦的維數大於三的CR-可積近Kenmotsu流形的分類問題。另一方面，我們證明了三維Kenmotsu流形上的Ricci孤立子與Yamabe孤立子之間的等價性。我們在三維Kenmotsu流形上研究了近梯度Ricci孤立子並給出了其局部刻畫。我們發現了滿足一類零分布條件的近Kenmotsu流形上的近梯度Ricci孤立子一定是剛性梯度Ricci孤立子。