跡形式(trace form)是空間上定義的重要的型。設V是體K上n維線性空間，f是V上關於K的對合J的厄米特型或反厄米特型，ε=±1使f(x，y)=εf(y，x) (∀x，y∈V)成立，若對每個x∈V都可找到a∈K使f(x，x)=a+εa，則稱f是跡形式。當K的特徵≠2時，所有的厄米特型和反厄米特型都是跡形式，若K交換，則僅當K的特徵=2，J=1且f不是交錯型時，f才不是跡形式。
基本介紹
- 中文名：跡形式
- 外文名：trace form
- 別稱：不變對稱雙線性形式
- 性質：線性空間中的雙線性函式的推廣
- 所屬學科：數學
定義,跡形式的性質,
定義
跡形式亦稱不變對稱雙線性形式，是線性空間中的雙線性函式的推廣。設A是域F上一個非結合代數，
是A上(作為線性空間)的一個雙線性形式，若還有
，則稱這個雙線性形式是跡形式。在非結合代數A上給定一個跡形式後，對A的每個理想B，得A的理想{
對所有
}，它和B一起反映了A的有正交性質的結構。
跡形式的性質
設
是
上的厄米特形式，我們說是一個跡形式，如果對於一切
都是
中的“跡”，這就是說都可以表成形狀
，由於
是對稱元素，所以當K的特徵數≠2時，這個條件一定成立，因為這時只要取
即可。 當K的特徵數為2而中心Z中對稱元素所組成的子域
與Z相異時(這時對合
稱為第二類對合，例如當K是域而異於單位自同構時就是這種情形)，這個條件也成立。實際上，這時存在一個
使得
，於是
；如果
是K中任意一個對稱元素，因為
，我們有
，因此
。反之，當K是(特徵數為2的)域而是單位自同構時，除了0以外任何對稱元素都不是“跡”；因此跡形式就是交錯形式。我們可以舉出一個對於中心的秩為4的體來，其中有不是跡的對稱元素存在。
以下我們永遠假定所研究的自反形式是非退化的跡形式，對於這樣一個形式(假定它是厄米特形式)，首先有下面的引理：對於E中任何一個迷向向量
和包有的任何一個非迷向平面P，P中都存在另外一個迷向向量b，使得
。實際上，只要選P中一個向量c使得，
並求得
使得
即可；我們求得方程
，因為
，所以只要取
即得
；再將b乘以
就得到問題的答案。
從這個結果可以推出下面兩個結果：
1)對於E的任何一個全迷向子空間，都存在另一個與V有相同維數的全迷向子空間W，使得
而且V中非零向量都不與W正交。 此外，對於任何一對適合這個條件的同一維數P的全迷向子空間，都存在V的一組基
和W的一組基
，使得
。
只要對於V的維數用歸納法並套用上述引理，即可證明這個結果。我們注意，如果p是的指數v，那么對於維數v的兩個全迷向子空間V和W，
就推出V中非零向量都不與W正交。
2)當
時。存在E的一組由迷向向量所組成的基。實際上，先在E中取一個迷向向量a，再在E中取一個迷向向量b使得，那么由a和b所確定的平面P是非迷向的；設
是
的一組基，我們立刻看到
，於是在由b和
所確定的平面中就存在一個迷向向量
使得
。因而a，b和
就組成所要求的一組基。
E的兩個同一維數的子空間V和W，一般說來不能用一個酉變換將其中之一變到另外一個；這樣變換存在的條件由下面的基本定理所給出，這個定理是維特(E.Witt)證明的。
定理 存在一個酉變換
使得
的充分必要條件是在
和
上的限制是等價的。
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