《超音速繞流及線性退化雙曲組中若干問題的研究》是依託上海師範大學，由屈愛芳擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：超音速繞流及線性退化雙曲組中若干問題的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：屈愛芳
- 依託單位：上海師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
雙曲守恆律方程組研究中的高維活塞問題及線性退化方程組大初值問題具有重要的物理背景與套用價值，近年來受到國內外同行的高度關注。本項目一方面研究Chaplygin氣體和位勢流的高維活塞問題的可解性及解的結構，另一方面，基於Chaplygin氣體研究線性退化雙曲組大初值問題解的適定性等。相關理論分析涉及混合型方程的可解性以及測度論在偏微分方程弱解理論中的套用等，具有一定難度。本項目將綜合利用特徵分析法及混合型方程的一些處理方法，充分發掘所考察模型的物理背景與數學理論之間的聯繫，並引入新的研究思路和方法。本項目的研究有助於對一般高維守恆律方程組初邊值問題弱解理論的進一步探索。
結題摘要
雙曲守恆律方程組研究中的高維活塞問題及線性退化方程組大初值問題具有重要的物理背景與套用價值，近年來受到國內外同行的高度關注。本項目主要研究具有航空航天背景的可壓縮歐拉方程組氣體動力學的弱解和測度解的數學理論，具體內容包括超音速繞楔形流、錐形流問題的高超音極限理論，一維活塞問題的測度解和二維活塞問題弱解的存在性理論，線性退化方程組的大初值問題解的適定性理論，以及三維均勻定常射流問題的穩定性等。（1）我們得到了Chaplygin氣體二維活塞問題大初值情形的可解性，並對解的結構與初邊值之間的關係進行了刻畫與分類。這為研究更為困難的歐拉方程組多方氣體的繞流問題解的結構提供了參考。（2）對於歐拉方程多方氣體，我們研究了二維楔形擾流和三維錐形繞流問題的高超音極限問題，多方氣體一維活塞問題的高超音極限和和Chaplygin氣體來流給定不同馬赫數的一維活塞問題，提出了歐拉方程Radon測度解理論框架，得到了物理中著名的Newton的正弦平方律和Newton-Buseman公式，為這些物理公式和理論建立了堅實的數學基礎。（3）歐拉流繞凸楔流動，給定外界大氣壓小於來流壓強時，三維擾動問題解的穩定性。我們證明了三維問題解的局部穩定性，用嚴格數學理論回答了著名科學家科朗和弗里德里克斯關於這一問題的猜測。通過引入新的加權估計辦法，解決了不同退化類型的特徵自由邊值的本質困難，這是方法上的創新。（4）我們構造得到了Chaplygin氣體初值為四片常態的黎曼問題大初值解的存在性，給出了不出現強奇異間斷的充分條件。證明了一維Chaplygin氣體初始密度無局部正下界和正上界的大初值問題整體解的適定性，得到了歐拉方程組初值為L^1可積的整體弱解的存在唯一性，將以往關於該方程組的初值條件作了本質推進。將測度理論與特徵分析方法充分結合是方法上的創新。
