《超定偏微分方程組的幾何研究與幾何套用》是依託復旦大學，由嵇慶春擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：超定偏微分方程組的幾何研究與幾何套用
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：嵇慶春
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題計畫首先在有限型，實解析，弱擬凸的條件下研究（關於Cauchy-Riemann方程組）Kohn Algorithm的effective termination結果, 並進一步研究dd^c-方程組的整體可解性與正則性相應的幾何凸性條件，希望由適當的幾何凸性出發建立Bochner-Kidaira-Nakano型的不等式由此得到整體可解性，並用Kohn Algorithm來討論dd^c-方程組的正則性。在得到上述結果之後，繼續探索怎樣將這些結果推廣到一般的橢圓復形.本課題的研究是在J.J.Kohn,Y.T.Siu.等數學家的工作基礎上探索幾何方法在局部可積的超定方程組整體可解與正則性問題中的套用,並進一步研究所得結果的幾何套用（主要是與除法問題有關的套用）。
結題摘要
我們用J.Kohn和Hormander的L2理論研究了一些重要的超定偏微分方程組和幾何套用，主要包括：全純除法問題、p－凸流形的拓撲限制以及（half）Dirac型方程（包括柯西－黎曼方程和實柯西－黎曼方程等）。構造有用的權函式是L2理論的核心內容，在這方面我們對L2理論本身也作出了新的發展。 全純除法問題可以看成是經典的Hilbert零點定理的解析、effective版本，這是代數幾何、復幾何領域的關鍵問題之一。我們首次在對解析層同態建立了除法定理，這為構造整閉理想層提供了有效的辦法。我們用L2方法研究了p－凸流形的拓撲限制，和以往的結果相比我們對底流形的曲率沒有任何限制條件，從而我們的結果刻畫了p－凸條件本身對流形的拓撲的制約。此外，我們還把以上研究超定偏微分方程組的L2方法發展到一類重要的幾何運算元－half Dirac 運算元（包括柯西－黎曼運算元和實柯西－黎曼運算元等等）， 對這類運算元建立了帶權L2估計並在辛幾何中取得初步套用包括：提供了關於Dirac型方程的新的研究觀點，改進了Gromov－Lawson關於Dirac方程可解的判別條件。 我們通過Kohn-Hormander L2方法統一研究了相關的超定偏微分方程組並得到幾何套用。在Kohn-Hormander L2方法以往的套用中底流形總假定是非緊的，這是因為人們總是選取具有某種凸性的權函式，而在緊緻的情形這樣的函式自然就不存在了。我們發展了一般的選取權函式的方法使得在緊緻的情形也能適用。
