費雪線性判別

在模式識別中，費雪線性判別（Fisher's linear discriminant）是一種線性判別方法。

基本介紹

• 中文名：費雪線性判別
• 外文名：Fisher's linear discriminant
• 學科：模式識別

簡介

在模式識別中，費雪線性判別（Fisher's linear discriminant）是一種線性判別方法，其意圖是將d維空間中的數據點投影到c-1維空間上去，使得不同類的樣本點在這個空間上的投影儘量分離，同類的儘量緊湊。

兩類情況

在二類判別時，費雪線性判別將d維空間中的數據點投影到一條直線上去，使得不同類的樣本點在這條直線上的投影儘量分離，同類的樣本點在這條直線上儘量緊湊。假設有兩類樣本集的類別為ω₁，樣本數為n₁，的類別為ω₂，樣本數為n₂。定義樣本均值m_i和類內散布S_i。

投影直線的方向向量為w，樣本投影在直線上的值為y。則可得兩類樣本投影后的均值和類內散布為，i=1,2。

在兩個類別的分布是多元常態分配，且協方差矩陣相同時，根據貝葉斯決策理論，，並且w₀是一個與w和先驗機率有關的常數。我們可以用樣本均值與樣本協方差去估計u_i和Σ。更一般地說，如果我們對投影后的數據進行平滑，或用一維高斯函式進行擬合，ω₀就位於使兩類的後驗機率相同的位置上。

多類情況

費雪線性判別在面對二類判別時，將兩類樣本向一條直線投影，也就是將數據從d維空間向1維空間投影。這樣在面對c個類的判別時，所要做就是將數據從d維空間向c-1維空間投影。這就需要推廣投影方程、類間散布矩陣S_B和類內散布矩陣S_W。從d維空間向c-1維空間的投影是通過c-1投影方程進行的：

這裡的為第i類的樣本集。設，c-1個方程可以更簡練地表達：

這裡的為第i類的樣本的投影向量集。類間散布矩陣S_B和類內散布矩陣S_W可以由總體散布矩陣S_T和總體均值向量m推導得到：

可以證明，當W的列向量w_i是的廣義特徵向量時，可以使得J(w)最大。因為S_B中c個秩為1或0的矩陣相加，而且其中只有c-1個矩陣是相互獨立的。所以S_B的秩最多為c-1。所以最多只有c-1個特徵向量是非零的。

套用

人臉識別

在人臉識別中，每一個人臉圖像具有大量的像素點。LDA主要用來將特徵減少到一個可以處理的數目在進行分類。每一個新的維度都是原先像素值的線性組合，這就構成了一個模板。這樣獲得的線性組合被稱為Fisher faces,而通過主成分分析獲得的則稱為特徵臉。