變進制數

變進制數是由常進制數推廣的，我們不一定要用固定的數值作為進位值，設有正整數序列B1,B2,...,Bn,...，其中Bi >=2，我們就可以把它當作各個位置上的進位值，即第i 個位置滿Bi 進一，添加B0 =1，則權重Pi=B0*B1*...*Bi-1 , i >=1，變進制數An,An-1,An-2,...,A1，其中0=< Ai <= Bi -1, 1<= i <=n，其數值的計算方法仍然是上述K 的公式。 實際上，我們日常生活中有很多變進制數，比如時間的描述“1年9個月8天6小時6分30秒”，假定1年有12個月，1個月30天。

基本介紹

• 中文名：變進制數
• 概述 ：變進制數是由常進制數推廣的
• 常進制數：在我們的學習、生活中常進制數
• 階乘數系：最特殊、最簡單的變進制數

常進制數

在我們的學習、生活中常進制數的套用非常廣泛。例如：十進制數、二進制數等等。實際上他們是以一個固定的整數作為進位值的。一般的，r 進制數就是每個位置滿r 進一。設有r 進制數An,An-1,An-2,...,A1，其中0=< Ai<= r-1, 1<=i<=n，i位置的權重Pi=r^(i-1)。其對應的數值K 計算方法為：

K = ΣAi*Pi= An*Pn+An-1*Pn-1+...+A1*P1

階乘數系

最特殊、最簡單的變進制數，就是取Bi=i+1,i>=1，則Pi=1*2*...*(i-1)*i =i!，其權重恰好是整數的階乘，因而被稱為階乘數。階乘數第i個位置最大數值是i。

例，4位的最大階乘數是4321，為了區分其他進制，這裡用字母f作為下標：(4321)_f ，則：

(4321)_f = 4*4!+3*3!+2*2!+1*1! = 119 = 120-1 = 5!-1 =(10000)_f -1

上式在10進制中相當於：9999 = 9*10^3+9*10^2+9*10+9*1 = 10000-1

我在2006年探討全排列的排序問題時也獨立的發現變進制數和階乘數系，後來在一本數值計算的書上看到了這個概念，估計這個概念應該出現很久了，因為不常用而被忽視。

全排列和階乘數系關係

我們知道n個不同的元素有n!個排列，我們這裡考慮數字1,2,...,n的排列。現在我們要給他們一個排序方法，也即是找到他們和自然數列0,1, 2, ..., n!-1 的一個對應，習慣上的，我們按照排列逆序的程度來排序。我們來逐一考慮，n=1時，只有1中排列，n=2時，我們要把2和1排在一起，則2可以排在1的後面或前面，有兩種選擇，當n=3時，1和2兩個數字有三個空可以插入數字3，而3選定一個位置時，1和2又有2!種排列，我們可以這樣，數字3每變動一次（從後向前移），小於它的所有數就輪換了一個周期（全排列）。這6個排列順序如下：

(數字3在第3個位置)123, 213, (數字3在前移了1位)132, 231, (數字3又前移了1位)312, 321

數字3每前移一個位置，就經過了2!個排列。

一般的，按照這個方法，我們就可以把n!個排列排出來，在這種排列方法中，我們發現數字i 每前移一次，就經過了(i-1)! 個排列，也就是說“數字i 的位置的權重是(i-1)! ”，而i 移動的次數取決與在該排列中

數字i 右側小於i 的數字的個數（逆序）

例：有排列 35241 ，我們從數字2開始看，2右側有1個比它小的數字，數字3右側有2個，數字4右側有1個，數字5右側有3個，我們將這些逆序數倒著寫下來是：3,1,2,1，則該序列在我們這種排序方法中的位置序號是：

3*(5-1)!+1*(4-1)!+2*(3-1)!+1*(2-1)! = 3*4!+1*3!+2*2!+1*1! = 83 注意，排序是從0開始計數的。

我們就發現一個排列的逆序數組成的數列恰好是一個階乘數，此例中就是(3121)_f 。特殊的排列1234...n 對應的是(0, 0,..., 0)_f = 0 即是第一個，n(n-1)...21對應的是(n-1, n-2, ..., 2, 1)_f = n!-1，即是最後一個，完全符合我們的排序意圖。該階乘數各個位置數字的和就是原排列的總的逆序數。多提一點，鑒於這種逆序數列和階乘數的關係，我希望幾年後，組合數學書上的逆序數列可以修改成我這裡的定義方式：數字i 右側小於i 的數字的個數。而不是：i 左側大於i 的數字的個數。當然，大多數意義下兩者是等效的。

綜上所述：n個元素的全排列可以和n-1位的階乘數一一對應起來。

階乘數系的小數推廣和負數的階乘

進一步考慮，我們可以擴展出階乘數系的小數計數法。實際上我們的任務是去劃分單位1，與整數計數法相似，可以定義一個大於等於2的整數列C1,C2,...,Cn,...作為劃分的等分數，這裡就不做闡述了，我們這裡一種特殊的擴展方法：對稱擴展法，即令Ci=Bi,i>=1。對比常進制數的小數計數法，小數實際上是每次把當前長度10等分，於是，在階乘數的計數法中Ci=Bi=i+1 ,i>=1，我們最初我們將單位1進行2等分，再對每一份（長度是1/2）進行3等分（變成了1/6），如此下去，無窮的劃分。於是，第i 次劃分後，每一份的長度是1/(i+1)!, 這即是對稱擴展後小數點後第i位置的權重，第i個位小數的最大數值是i。小數點後第i位置的權重P-i= 1/(i+1)! ,i>=0。

例如：最大的4位小數是(0.1234)_f , (0.1234)_f = 1/2!+2/3!+3/4!+4/5! = 119/120 = 0.991666666.....

至此，階乘數的小數系統也構造完畢。並且，我們可以得出一個有趣的級數：

Σn/(n+1)! = 1 , 其中Σ是對n是從1到正無窮求和。 他的意義很明確，就是(0.123456......)_f = 1，正如十進制中的0.999999......=1一樣。

大膽的，鑒於上述小數和整數權重表示的統一，我們可以定義

負數的階乘

(-n)! = 1/(n+1)! , 其中n>=0。

這裡我們發現，0!是符合這個公式的：0!=1/1!=1。則階乘數系第i 位置的權重Pi=i! ,i是任意整數。對於整階乘數，實際上在最低位置右邊還有一個“隱藏位置”，該位置的數值只能是0，權重是0!=1，因而無計數意義，我們可以把它想像成小數點，小數點右邊就是小數系統，很完美的合在一起：

(n,n-1,...21.123456......)_f = (n+1)! , 對應十進制是9999.9999...=10000。

說明：這裡負數的階乘的定義是根據對稱擴展而來，能夠吻合0的階乘且能夠完善階乘數系的表示，暫時沒有發現它對其它組合公式有什麼擴展貢獻。