計算電磁學積分方程的數值精度研究與改進

《計算電磁學積分方程的數值精度研究與改進》是依託電子科技大學,由顏溯擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：計算電磁學積分方程的數值精度研究與改進
• 依託單位：電子科技大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：顏溯

項目摘要

在計算電磁學積分方程方法中被廣泛使用的面積分方程可以被分為第一類和第二類Fredholm積分方程。長期以來，計算電磁學界對這兩類方程的普遍認識是，第一類積分方程具有很高的數值求解精度，但是疊代收斂性能很差；而第二類積分方程具有很快的疊代收斂速度，但是數值精度卻很差。近十餘年來，國際學術界一直致力於研究有效提高第二類積分方程數值精度的方法。然而，對於這一問題，至今仍然沒有有效的處理方法，第二類積分方程至今仍然無法達到第一類積分方程的求解精度。同時，對於影響第二類積分方程數值求解精度的原因也仍然眾說紛紜，沒有公認的結論性認識。本項研究，將從積分方程的運算元特性出發，通過分析各個運算元的數值誤差來源，找到限制積分方程求解精度的瓶頸，並對其進行改進，以使第二類積分方程的數值精度與第一類積分方程相當。同時也對第一類積分方程的求解精度進行改進，並提出穩定的誤差檢驗方案。

結題摘要

電磁仿真與模擬在科學研究和工程設計中起到越來越不可替代的作用。與基於微分方程的計算電磁學方法相比，基於表面積分方程的計算方法，由於可以有效避免格線色散誤差和格線截斷誤差，而被廣泛使用於電磁輻射與散射的計算問題中。從數學上來看，這些表面積分方程可以被分為第一類和第二類Fredholm積分方程。一般認為，第一類積分方程具有很高的數值求解精度，但是疊代收斂性能很差；而第二類積分方程具有很快的疊代收斂速度，但是數值精度卻很差。國際學術界雖然致力於研究提高第二類積分方程數值精度的有效方法，但是卻一直沒有能夠使第二類積分方程達到第一類積分方程的求解精度。同時，對於影響第二類積分方程數值求解精度的原因也眾說紛紜，沒有公認的結論性認識。 本項目研究，針對第二類積分方程低精度的問題展開研究，取得了以下三個方面的成果。第一，從積分方程運算元的數學特性出發，通過分析各個運算元在不同數值離散條件下所帶來的計算誤差，找到了數值誤差的來源和限制積分方程求解精度的瓶頸。針對這些數值精度的瓶頸，對數值離散和求解的方法進行了有針對性的改進，使第二類積分方程的數值精度達到甚至超過了第一類積分方程的數值精度，同時保留了第二類方程的快速疊代收斂特性。第二，研究了如何將改進精度後的第二類積分方程與第一類積分方程相結合，利用混合積分方程能夠有效避免電磁偽內諧振的特性，求解電大尺寸電磁散射和輻射問題的方法。在此基礎上，研究了多層快速多極子方法的精度提高策略。通過對多極子方法中基/權函式的譜空間展開數進行研究，讓第二類積分方法的多層快速多極子解達到與對應的矩量法解相同的數值精度，為求解電大尺寸問題打下了基礎。第三，使用改進精度後的積分方程結合快速算法對複雜電磁問題進行了求解。為了模擬複雜的介質材料的電磁散射與輻射，使用有限元與邊界元相結合的方法，一方面利用有限元方法模擬複雜的非均勻介質材料，另一方面使用邊界元方法作為有限元求解區域的截斷邊界，有效地降低了有限元區域的大小，改進了計算精度，提高了計算效率。針對有限元-邊界元方法離散矩陣條件數差的問題，提出了新型預條件方法，極大提高了疊代收斂速度。同時利用圖形處理單元（GPU）對算法進行了並行化處理，讓計算效率得到了幾十倍的提高。