角位移

角位移(Angular displacement)是描述物體轉動時位置變化的物理量。物體的角位移是指以特定方式圍繞指定軸旋轉點或線的弧度（度數，轉數）的角度。 當物體圍繞其軸線旋轉時，運動不能簡單地被分析為粒子，因為在圓周運動中，它在任何時間（t）都經歷變化的速度和加速度。 當處理對象在旋轉時，考慮物體本身就變得更加簡單。 當所有顆粒之間的分離在整個物體運動中保持恆定時，通常認為該物體是剛性的，因此，例如其一部分質量不會飛離。 在現實的意義上，一切都可以變形，然而這種影響是微乎其微的。 因此，剛體在固定軸上的旋轉被稱為旋轉運動。

基本介紹

• 中文名：角位移
• 外文名：angular displacement
• 學科分類：物理學
• 涵義：描述物體轉動時位置變化的物理量
• 套用：物體的圓周運動
• 實例：圓軌道的兩體問題、旋轉天體問題
• 符號：θ
• 單位：弧度(rad)、度(°)、轉數（rev）

簡介

角位移(Angular displacement)是描述物體轉動時位置變化的物理量。物體的角位移是指以特定方式圍繞指定軸旋轉點或線的弧度（度數，轉數）的角度。 當物體圍繞其軸線旋轉時，運動不能簡單地被分析為粒子，因為在圓周運動中，它在任何時間（t）都經歷變化的速度和加速度。 當處理對象在旋轉時，考慮物體本身就變得更加簡單。 當所有顆粒之間的分離在整個物體運動中保持恆定時，通常認為該物體是剛性的，因此，例如其一部分質量不會飛離。 在現實的意義上，一切都可以變形，然而這種影響是微乎其微的。 因此，剛體在固定軸上的旋轉被稱為旋轉運動。

運動學分析

角位移

粒子以半徑r做圓周運動。 移動弧長s後，其角位置相對於其原始位置為的角度為 ，其中 。

在數學和物理學中，通常使用自然單位弧度而不是度或轉數。 單位轉換如下：

1rev= =2πrad，1rad= 。

角位移是角位置的變化： ，

其中是 角位移， 是初始角位置， 是最終的角位置。

有限大的角位移

有限大的角位移不是矢量，因為他不滿足交換律。兩個矢量相加，遵守平行四邊形加法所遵守的交換律。即：

一個長方體，

若先繞z軸轉90度，再繞y軸轉90度，則得到圖1所示結果。

若先繞y軸轉90度，再繞z軸轉90度，則得到圖2所示結果。

兩種情況都是繞z軸和y軸各轉了90度，只是轉動的順序不同，但是最終結果卻不同，說明不滿足交換律。由此可見，有限大的角位移不是矢量。

無限小的角位移

無限小的角位移是矢量。

角速度

瞬時角速度由下式給出，角速度是每單位時間角位移的變化。 角速度的符號是 ，單位通常為rad ，

使用角位置的公式並且代入 ，我們可以得到，

其中v是粒子的平移速度，角速度和頻率相關。

角加速度

變化的角速度表示在剛體中存在角加速度，通常以rad 測量。 時間間隔Δt的平均角加速度 由下式給出，

= =

瞬時加速度α（t）由下式給出，

因此，角加速度是角速度的變化率，就像加速度是速度變化率一樣。

物體旋轉點上的平移加速度由下式給出，

其中r是與旋轉軸線的半徑或距離。 這也是加速度的切向分量：它與點的運動方向相切。 如果該分量為0，則運動是均勻的圓周運動，速度僅在方向上改變。

徑向加速度（垂直於運動方向）由下式給出，

它指向旋轉運動的中心，並且通常被稱為向心加速度。

角加速度是由扭矩引起的，根據正和負角頻率的慣例，它可以具有正值或負值。 扭矩和角加速度的比率（啟動，停止或以其他方式改變旋轉的困難程度）由慣性矩給出：T=I 。

運動學方程

當角加速度恆定時，五個角位移 ，初始角速度 ，最終角速度 ，角加速度 和時間t可以通過運動學的四個方程相關聯：

= + t

矢量表達式

上述發展是一般旋轉運動的特殊情況。在一般情況下，角位移，角速度，角加速度和扭矩被認為是向量。

角位移被認為是沿著軸指向的幅度等於 的矢量。使用右手規則來確定其沿軸的方向，如果右手的手指捲曲以指示對象旋轉的方式，則右手的拇指指向向量的方向。

角速度矢量也以與其所產生的角位移相同的方式沿著旋轉軸指向。如果磁碟從上方逆時針旋轉，其角速度矢量向上指向。類似地，如果角加速度長時間保持，則角加速度矢量沿著與角速度將指向的相同方向沿旋轉軸指向。

扭矩矢量沿著扭矩傾向於引起旋轉的軸線點。為了保持圍繞固定軸的旋轉，總扭矩矢量必須沿著軸線，使得其僅改變角速度矢量的大小而不是方向。在鉸鏈的情況下，只有沿著軸的轉矩矢量的分量對旋轉產生影響，其他力和轉矩由結構補償。

示例與套用

恆定角速度

圍繞固定軸旋轉的最簡單的情況是恆定的角速度。 然後總轉矩為零。對於圍繞其軸旋轉的地球的例子，摩擦力很小。 對於風扇，電機施加扭矩來補償摩擦。 類似於風扇，大規模生產製造業中發現的設備有效地顯示圍繞固定軸線的旋轉。 例如，使用多軸車床將材料旋轉在其軸上以有效地增加切割，變形和轉動的產生。旋轉角度是時間的線性函式，模360°是周期函式。其中一個實例就是圓軌道的兩體問題。

向心力

內部拉伸應力提供將紡絲物體保持在一起的向心力。剛體模型忽略了伴隨的應變。如果身體不僵硬，這種應變將導致其變形。這表示為由於“離心力”引起的對象改變形狀。

彼此旋轉的天體通常具有橢圓軌道。圓周軌道的特殊情況是圍繞固定軸線的旋轉的示例：該軸線是通過垂直於運動平面的質心的線，向心力由重力提供，另見天體問題。這通常也適用於旋轉天體，因此除了角速度相對於其密度而言，角速度太高，所以不需要固體保持在一起。 例如，旋轉天體的水必須至少需要3小時18分鐘才能旋轉，不管大小如何，或者水將分離。如果流體的密度較高，則時間可以較少。