衝激函式

衝激函式是個奇異函式，它是對強度極大、作用時間極短暫且積分有限的一類理想化數學模型。衝激函式可用於對連續信號進行線性表達，也可用於求解線性非時變系統的零狀態回響。

對衝激函式求導可得到衝激偶函式，單位衝激偶是這樣的一種函式：當 t從負值趨於0時，它是一個強度為無限大的正的衝激函式，當t從正值趨於0時，它是一個強度為無限大的負的衝激函式。

基本介紹

• 中文名：衝激函式
• 外文名：Impulse Function
• 別名：脈衝函式
• 表示形式：δ(t)
• 歸屬學科：數學
• 套用：信號處理

定義

普通函式

衝激函式的定義為：

單位衝擊函式

通常，單位衝激函式 滿足：

（1）當 時，

（2）

單位衝激函式 又稱Dirac函式或者 函式。

註：單位衝激函式 並不是經典意義下的函式，而是一個廣義函式（或者奇異函式），它不能用通常意義下的“值的對應關係”來理解和使用，而是通過它的性質來使用。

廣義函式

選擇一類性能良好的函式 ，稱為檢驗函式 （它相當於定義域），一個廣義函式 對檢驗函式空間中的每個函式 賦予一個數值 的映射，該數與廣義函式 和檢驗函式 有關，記作 。廣義函式可寫為

衝擊函式 與檢驗函式的作用效果是從 中篩選出它在 時刻的函式值 ，這常稱為衝擊函式的取樣性質（或篩選性質）。簡言之，能從檢驗函式 中篩選出函式值 的廣義函式就稱為衝擊函式 。

性質

篩選性質

如果信號 是一個在 處連續的普通函式，則有

上式表明，信號 與衝激函式相乘，篩選出連續時間信號 在 時的函式值 ，可以理解為衝激函式在 時刻對函式 的一瞬間的作用，其值是衝激函式和 相乘的結果，瞬間趨於無窮大。

取樣性質

如果信號 是一個在 處連續的普通函式，則有

衝激信號的取樣特性表明，一個連續時間信號 與衝激函式相乘，並在時間域 上積分，其結果為信號 在 時的函式值 。該式可以理解為衝激函式作用於函式 ，趨於穩態時最終作用的結果，即得到信號 在 時刻的值 。

導數性質

衝激函式的導數性質如下：

其證明如下：

尺度變換

衝激函式的尺度變換性質如下：

其推論明如下：

（1）

（2）

（3） 當 時，

（4） ，為偶函式

（5） ，為奇函式

套用

衝激函式可用於信號處理，通過衝激函式來表示複雜的信號，可以簡化對複雜信號的一些特性的研究。衝激函式及其延時衝激函式的線性組合來表示或逼近，再利用系統的迭加原理，可以通過簡單的信號如單位衝激函式的頻譜，以及頻域特性來討論比較複雜信號的頻譜。從而減少計算複雜信號頻譜的難度。