螺旋式歸納法是一種數學命題證明方法。常用在兩項及以上個數列通項公式或連續項大小比較的證明當中。
基本介紹
- 中文名：螺旋式歸納法
- 學科：數學
- 性質：名詞
- 類型：數學歸納法
螺旋式歸納法
(1)，A(1)成立；假設有兩個與自然數n有關的命題A(n)、B(n)，如果滿足：
(2)，假設A(K)成立能推出B(K)成立，又假設B(K)成立能推出A(K+1)也成立，那么，就能斷定對於任意的自然數n，A(n)和B(n)都成立。
證明：易知，將關於命題的兩個無窮序列A(1)，A(2)…A(K)，A(K+1)…和B(1)，B(2)…B(K)，B(K+1)…，然後施以第一數學歸納法證明。
註：這種螺旋式數學歸納法也可以適用於多個有關自然數命題的形式。
·例 數列{an}滿足a2m=3m2，a2m+1=3m(m+1)+1,其中m是自然數，令Sn表示數列{an}前n項和，求證：
·S2m-1=m/2(4m2-3m+1) (1)
·S2m=m/2(4m2+3m+1) (2)
·
·註：（1）可以看成命題中的A(m)，（2）可看做命題中的B(m)
·證明：1）m=1,S1=1,等式（1）成立。
·
·2）假設m=k時，等式（1）成立，即S2k-1=k/2(4k2-3k+1),那么S2k=S2k-1+a2k=k/2(4k2-3k+1)+3k2=k/2(4k2+3k+1)
·則等式（2）也成立。這就是說，若A(K)成立，可推得B(K)成立。
·
·又假設B(K)成立，即S2k=k/2(4k2+3k+1)，那S2k+1=S2k+a2k+1=k/2(4k2+3k+1)+3k(k+1)+1=(k+1)/2[4(k+1)2-3(k+1)+1]
·
·這就是說，若命題B(k)成立又能推出命題A(k+1)也成立，由1），2）可知，對於任意的自然數m，等式（1），（2）都成立。
