菲涅爾函式

菲涅爾函式(Fresnel function)又稱菲涅爾積分(Fresnel integral)。

基本介紹

• 中文名：菲涅爾函式
• 外文名：Fresnel function
• 別稱：菲涅爾積分
• 分類：S(x)    C(x)

定義

菲涅爾函式(Fresnel function)又稱菲涅爾積分(Fresnel integral)。

菲涅爾函式圖像

菲涅爾函式有兩種S(x) C(x)

S(x)=∫sin(t^2)dt,(0~x)=∑[(-1)^n*x^(4n+3)/((2n+1)!(4n+3))](0~∞)

C(x)=∫cos(t^2)dt,(0~x)=∑[(-1)^n*x^(4n+1)/((2n)!(4n+1))](0~∞)

性質

S(x),C(x) 分別是在R上的奇函式

導數

S'(x)=sin(x^2)

C'(x)=cos(x^2)

漸近線

因為S(+∞)=C(+∞)=√(π/8)

S(x),C(x)有兩條水平漸近線y=±√(π/8)

用誤差函式表示

用誤差函式表示，必須用到複數

S(x)=√(π)/4(√(i)erf(x√(i))+√(-i)erf(x√(-i)))

C(x)=√(π)/4(√(-i)erf(x√(i))+√(i)erf(x√(-i)))

(erf(x)是誤差函式，i是虛數單位)

所以，可以得到

C(z)+iS(z)=√(π/8)*(1+i)erf[(1-i)z/2] (z為複數)