莫爾斯指數（Morse index）是臨界點處的二階導運算元的最大負定子空間的維數。
基本介紹
- 中文名：莫爾斯指數
- 外文名：Morse index
- 適用範圍：數理科學
簡介,推廣,泛函的臨界點,
簡介
莫爾斯指數是臨界點處的二階導運算元的最大負定子空間的維數。
設X是希爾伯特空間，f∈C2(X,R)，x0是f的臨界點。X的線性子空間V是f''(x0)的負定子空間，指的是
f''(x0)的負定子空間的維數的上確界稱為臨界點x0的莫爾斯指數。
推廣
f''(x0)的正定子空間的維數的上確界稱為臨界點x0的莫爾斯余指數。
kerf''(x0)的維數稱為x0的零化數。
對於希爾伯特流形上C2泛函f的臨界點p，可利用點p處的局部坐標系(U,φ)，把泛函f∘φ-1的臨界點φ(p)的莫爾斯指數、余指數及零化數作為f的臨界點p的莫爾斯指數、余指數及零化數的定義。
泛函的臨界點
泛函的臨界點是泛函的梯度為零的點。
關於泛函的臨界點的研究成果形成了頗為系統的臨界點理論，它為研究非線性梯度運算元方程的解提供了理論工具。由於一些散度型微分方程的解恰是相應的積分泛函（亦稱變分泛函）的臨界點，因此，用臨界點理論研究非線性方程的方法被稱為非線性分析的變分方法。
