公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。
基本介紹
- 中文名：莫比烏斯帶
- 時間：1858年
莫比烏斯帶,
莫比烏斯帶
公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。
因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！
我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。
拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，如同上頁圖那樣粘成一個莫比烏斯帶。現在像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想像出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決！
比如在普通空間無法實現的“手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那么解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有著極大的不同。
下圖畫的是一隻“扁平的貓”，規定這隻貓只能在紙面上緊貼著紙行走。現在這隻貓的頭朝右。讀者不難想像，只要這隻貓緊貼著紙面，那么無論它怎么走動，它的頭只能朝右。所以我們可以把這隻貓稱為“右側扁平貓”。
“右側扁平貓”之所以頭始終朝右，是因為它不能離開紙面。
現在讓我們再看一看，在單側的莫比烏斯帶上，扁平貓的遭遇究竟如何呢？右圖畫了一隻“左側扁平貓”，它緊貼著莫比烏斯帶，走呀走，走呀走，最後竟走成一隻“右側扁平貓”！
扁平貓的故事告訴我們：堵塞在一個扭曲了的面上，左、右手系的物體是可以通過扭曲時實現轉換的！讓我們展開想像的翅膀，構想我們的空間在宇宙的某個邊緣，呈現出莫比烏斯帶式的彎曲。那么，有朝一日，我們的星際太空人會帶著左胸腔的心臟出發，卻帶著右胸腔的心臟返回地球呢！瞧，莫比烏斯帶是多么的神奇！想必讀者已經注意到，莫比烏斯帶具有一條非常明顯的邊界。這似乎是一種美中不足。公元1882年，另一位德國數學家克萊茵（Klein，1849～1925），終於找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，稱為“克萊茵瓶”（左圖）。這種怪瓶實際上可以看作是由一對莫比烏斯帶，沿邊界粘合而成。因而克萊茵瓶比莫比烏斯帶更具一般性。
