若干雙曲型模型方程的GRP數值格式研究

《若干雙曲型模型方程的GRP數值格式研究》是依託北京套用物理與計算數學研究所，由錢建禎擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：若干雙曲型模型方程的GRP數值格式研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：錢建禎
• 依託單位：北京套用物理與計算數學研究所

項目摘要

基於黎曼解法器的Godunov型有限體格式是雙曲型方程的一類穩定且高效的計算格式。經過幾十年的發展，以WENO和DG為代表的高階格式已逐漸成熟並得到廣泛套用。然而，通過直接求解廣義黎曼問題（GRP）構造數值通量的高階格式仍有待發展，成為當前吸引眾多學者的研究課題。在該問題上，最近申請人在前人研究結果的基礎上取得了一些重要進展。本項目擬系統研究若干模型方程的GRP算法以及相應高階數值格式。具體而言，擬研究的模型包括可壓縮氣體Euler方程、固體彈性波方程以及一類多介質流模型方程。在求解算法上，重點研究多維GRP解法器。進而，結合相應的數值重構方法，在多種格線上實現基於GRP解法器的高階數值格式，用於實際問題計算。本項目的研究將有助於深刻認識廣義黎曼問題及其相應高階格式，同時提高模型方程的計算能力。

結題摘要

本項目研究雙曲型方程廣義黎曼問題（GRP）的高階算法與相應數值格式。受高精度數值方法研究的驅動，該問題成為當前的研究熱點。同時，該問題有較大的挑戰性。本項目中，我們首先針對一般模型方程組，研究廣義黎曼問題的相關理論。在滿足經典黎曼問題適定性的相同條件下，給出了二階、三階的GRP解法器。發展了分辨稀疏波的新方法：推導給出廣義黎曼不變數的特徵導數在奇點處的演化方程，證明了在奇點處解的方嚮導數的存在性。研究了淺水波方程、可壓縮歐拉方程等多類典型雙曲型模型方程的廣義黎曼問題，獲得各類模型的二階、三階的廣義黎曼解法器並套用於構造相應的單步高階數值格式。通過數值測試和典型問題套用，驗證了上述解法器的精確性以及相應數值格式的健壯有效性。此外，發展了二維空間可壓縮歐拉方程和線性歐拉方程的真正多維廣義黎曼解法器。在多類問題套用中，真正多維解法器方法相對於平面一維解法器方法在計算精度和效果上獲得顯著提升。