芒德布羅集

基本介紹

對於二次多項式

，芒德布羅集M定義為

{

是連通集}.

M是閉集且有關係式

M的所有分支都是單連通區域，M的余集是一個區域。杜瓦地(A.Douady)和胡巴特(J.H.Hubbard)於1982年證明了集合M是連通集。富倉光宏(M.Shishikura)證明了M集的邊界具有豪斯多夫維數2。

關於芒德布羅集，仍有一些重要的問題未能解決。例如，芒德布羅集是否為局部連通?是否M的每一個分支都是雙曲的(即是否每個分支中存在參數w，使得Pw(z)有吸性周期點)?

芒德布羅集是最驚人的數學對象之一。圖1給出了一個芒德布羅集的圖形。仔細觀察會發現，每一處邊緣都具有“葉子”的特徵。留意圖1的底部。將其放大，得到圖2。現在，新的“葉子”成分出現了。再將圖2的底部放大，可觀察到圖3所示的令人眼花繚亂的結構。圖4和圖5是放大更多的圖形。每副圖都顯示出了一種豐富的、精細的結構。

網際網路上有很多電腦程式可用來探索芒德布羅集。(隨著圖形的放大)越來越精細的結構不斷出現。它吸引了數學、物理學和生物學上的頂尖頭腦。此外，正如下文所解釋的，這種模式是“普遍存在的”。它出現在很多看似無關的系統中。洗牌法和吉爾布雷思原理可用來描述該序列的點的排序方法。

平方與加法

從一個簡單的程式開始：平方與加法。這實際上就是定義芒德布羅集所需要的程式開始：平方與加法。這實際上就是定義芒德布羅集所需要的一切。

重複平方是人們很熟悉的一個程式。從2開始，我們會依次得到2，4，16，256，65 536，…，直到無窮。從小於1的一個數開始，如1/2，我們會依次得到1/2，1/4，1/16，1/256，1/65 536，…，該數列趨向於0。我們還要處理負數的情形。從一1開始，重複平方，會依次得到一1，1，1，1，1，1，…。如果每一次平方後再加上一個固定的數，事情就會變得更有意思了。假定每次加上1。從0開始，平方後加上1，即0²+1=1，重複平方後加上1的過程，依次得1²+1=2，2²+1=5，5²+1=26，…，直到無窮。若每次加上-1，則依次得到0，0²-1=-1，(-1)²-1=0，0²-1=-1，(-1)²-1=0，…。該數列永遠在0和-1之間擺動。若每次加上-2，結果也是類似的，所得數列為0，-2，2，2，2，2，…。加上一個小於-2或者大於0的數，結果都會得到一個趨於無窮的數列。加上一個-2與0之間的數，結果都會得到一個有界數列(隨著時間的推移，它們不會離0任意遠)。它們都在芒德布羅集裡。

平方與加法程式在二維上具有完美的意義，即將點z 變成點