艾倫伯格－斯廷羅德公理

在數學的代數拓撲學中，艾倫伯格－斯廷羅德公理（Eilenberg–Steenrod axioms）是拓撲空間的同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子，是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調。

基本介紹

• 中文名：艾倫伯格－斯廷羅德公理
• 外文名：Eilenberg–Steenrod axioms
• 分類：同調論
• 領域：數理科學

正式定義

艾倫伯格－斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X, A)範疇到阿貝爾群範疇的函子列，連同稱為邊界映射的自然變換（是的簡記）。這套公理是：

1、恆同映射在同調群中誘導的同態是恆同同態。

2、設有空間偶的映射，那么。

3、設有空間偶的映射，那么。

4、同倫：同倫的映射在同調群中誘導相同的同態。換言之，如果同倫於，那么其誘導同態相同：對所有的n>0。

5、切除：設是空間偶，U是X的子集，使得U的閉包包含在A的內部之中。那么包含映射在同調群中誘導的是同構。

6、維數：設P是單點空間，那么對所有n≠ 0。

7、正合：任何空間偶(X,A)經由包含映射和，都在同調群中誘導出長正合序列：

約翰·米爾諾增加了一條公理：

可加性：設是拓撲空間族的不交並，那么。

設P是單點空間，那么稱為係數群。

結果

同調群的一些結果可以用公理推導出，例如同倫等價空間的同調群是同構的。一些較為簡單的空間的同調群可以直接從公理算出，比如n-球面。因此可以推導出(n-1)-球面不是n-球的收縮。用這個結果可以給出布勞威爾不動點定理的一個證明。

維數公理

如果一個同調論符合差不多所有艾倫伯格－斯廷羅德公理，但維數公理除外，便稱為廣義同調論（對偶概念為廣義上同調論）。一些重要例子在1950年代發現，例如拓撲K-理論和配邊理論，都是廣義上同調論，並有與之對偶的同調論。