舍九法

舍九法，也稱棄九法、棄九驗算法，是一種更簡單的、更有效的四則運算驗算方法，但通常只能用來判定計算結果是錯誤的，需結合其它驗證法才能判定結果是正確的。

基本介紹

• 中文名：舍九法
• 外文名：casting out nines
• 又稱：棄九驗算法;棄九法
• 優點：簡單、有效
• 缺點：只能用來判定計算結果是錯誤的
• 歸屬學科：數學
• 用於：四則運算的結果驗算

基本原理

舍九法定理

如果構成某數的各位數字之和能被9整除，則這個數本身也能被9整除。如果構成某個數的各位數字之和不能被9整除，則這個數本身也不能被9整除，其所得餘數與構成其數的數字和的餘數相同。

例1：87654321÷9=9739369......0

（8+7+6+5+4+3+2+1）÷9=4......0

例2：7654321÷9=850480......1

（7+6+5+4+3+2+1）÷9=3......1

證明

這裡以三位數為例進行證明。

假設一個三位數百位數為X，十位數為Y，個位數為 Z， 則這個數可記為(100X+10Y+Z) ，它的各位數字之和為 (X+Y+Z)。

故， 的餘數和 的餘數相同。

結論

求某數除以9的餘數，可以用構成該數的各位數字的和除以9的餘數代替，且其中數字和滿9的部分可以忽略不計。

例如：求9除1926754的餘數。

用9除1926754的各位數字的和，其中，數字和滿9的可忽略不計，9 ，1，2，6，4，5可忽略，餘數為7÷9的餘數，即為7。

套用

舍九法不僅可以驗算多位數加、減法，也可以驗算乘、除法。

加法

定理：兩個數的和的“9餘數”與兩個數的“9餘數”的和的差數，必為9的倍數。

證明：

假設 ， 分別為 除 所得的商數， 分別為 的“9餘數”

則有

因為

所以

移項併合並同類項，得：

證畢

上述定理可運用到加法的驗算中。

如：驗算485367+36827=522194

485367的“9餘數”是6，36827的“9餘數”是8，522194的“9餘數”是5，因為6+8-5是9的倍數，故無法說明該計算錯誤，但也無法說明計算正確，可結合其他驗證方法進行進一步驗算。

驗算874564+18754=893217

874564的“9餘數”是6，18754的“9餘數”是7，893217的“9餘數”是3，因為6+7-3不是9的倍數，故上式計算錯誤。

減法

定理：兩數相減，被減數的“9餘數”減去減數的“9餘數”所得得餘數差，等於差數的“9餘數”。

如：驗算176543-85674=90869

176543的“9餘數”是8，85674的“9餘數”是3，90869的“9餘數”是5，因為8-3=5，故不能說明該計算錯誤。

注意：如果遇到被減數的“9餘數”小於減數的“9餘數”時，則將加9於被減數的“9餘數”中，然後按上述方法進行驗算。

如：4600064-200300=2597064

4600064的“9餘數”是2，200300的“9餘數”是5，2597064的“9餘數”是6，因為2+9-5=6，故不能說明該計算錯誤。

乘法

定理：兩數相乘，兩數的“9餘數”的積的“9餘數”，與兩數積的“9餘數”必定相同。如果不同，則說明，計算結果有誤。

如驗算47×61=2867

47的“9餘數”是2，61的“9餘數”是7，2867的“9餘數”是5，因為2×7=14的“9餘數”=5的“9餘數”，故不能說明該計算錯誤。

除法

定理：如果兩個數整除，則除數的“9餘數”與商數的“9餘數”的積的“9餘數”，等於被除數的“9餘數”。若不等，則說明，計算結果有誤。

如：驗算2544÷53=48

2544的“9餘數”是6，53的“9餘數”是8，48的“3餘數”是5，因為8×3=24的“9餘數”=6，故不能說明該計算錯誤。

注意

應當說明的是，這種驗算方法對於一般的計算錯誤能夠驗算出來，但對於數字調換位置，或者相差剛好是9的倍數的錯誤，這種方法就會失靈。因此，最好把不同的驗算方法結合起來加以運用，這是在運算和驗算過程中應注意的。