自激點過程

自激點過程(self-exciting point process)是一類強度可以依賴於過程自身歷史的點過程.齊次泊松過程的強度是一常數，如果允許強度隨時間t改變就得到帶時倚強度的泊松過程。如果再允許強度在任一時刻t的值除了依賴於t之外，還與過程在這時刻的點數N(t)有關，則得到的是非齊次純生過程。現在，若進一步假設過程在任一時刻t的強度除了依賴於t和N(t)之外，還可能與在時刻t前發生的N(t)個點的位置有關，換句話說，依賴於過程在時刻t之前(包含t)的全部歷史，於是就得到更廣泛一類的點過程——自激點過程。

基本介紹

• 中文名：自激點過程
• 外文名：self-exciting point process
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：隨機過程
• 相關概念：計數過程、樣本分布、聯合分布等

自激點過程的定義

在數學上，自激點過程被定義為滿足下述條件的計數過程：對任意實數和，

其中依次是過程的第一，第二，……，第個點發生時刻。在某些文獻的定義中還加上有序性條和對初始狀態的規定：。

注意自激點過程的強度λ不僅隨時間t變化，而且還是過程的現實ω的函式，即強度本身是一隨機過程，但它受點過程自身的演化制約。

如果計數過程 滿足： 且對於小時間h有

則稱為自激點過程，而隨機過程

稱為其強度過程。

自激點過程 稱為m-記憶的，如果

即強度過程只依賴最近發生的m個事件的時刻，而與 無關。

最簡單的是 的情形，這是無記憶(0-記憶)的自激點過程情形，即下面的定義。

定義1計數過程 稱為無記憶的自激點過程，如果 滿足: 且存在正值函式 使對於小的h有

由此可見，無記憶的自激點過程是條件非時齊Poisson過程。

例1年齡 的 個人的群體在時刻 以前的死亡人數(死亡計數過程) 可以用無記憶的自激點過程建模，其強度過程為 其中 是年齡為 的死亡率，

無記憶的自激點過程的有限維分布

無記憶的自激點過程 在有限個時刻上的聯合分布為: 對於 整數

其中

自激點過程的條件強度過程

定義2

稱為自激點過程的條件強度過程。

於是，對於自激點過程有

自激點過程的絕對機率

仿照初等機率論中Poisson過程的絕對機率的推導，可以得到

同樣仿照初等機率論中Poisson過程的絕對機率的推導，我們得到下面的結論。

命題1 自激點過程的絕對機率滿足如下的(常微分方程組)

這是一個非時齊的單側純生過程，可以用歸納法求得其解為