《自仿集的拓撲結構和李普希茲等價》是依託重慶大學，由羅軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：自仿集的拓撲結構和李普希茲等價
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：羅軍
- 依託單位：重慶大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目主要研究自仿分形集上的拓撲結構以及特殊情況下的李普希茲等價問題。具體包括：（1）對於自仿疊代函式系統，我們在其符號空間上建立一個雙曲圖，研究它的雙曲邊界，我們將證明在弱分離條件下，該雙曲邊界與自仿集同胚；（2）研究Bedford-McMullen 地毯的拓撲結構，我們用周期性延拓的方法，給出它們拓撲分類的完整刻畫；（3）研究一類局部具有類圓盤結構的連通自仿tile的拓撲特徵；（4）在（1）的框架下，我們進一步研究自仿集的李普希茲等價問題，我們將借鑑之前對自相似集的李普希茲等價問題的處理方法，擬得到自仿集上的一般結論。我們希望本項目能夠對自仿集的拓撲結構的研究做出有用的貢獻，並對自仿集上的李普希茲等價進行初步的探索，為分形幾何找到新的研究途徑。
結題摘要
分形集的拓撲結構和李普希茲等價是目前國際上分形幾何領域的一個主要研究課題，越來越多的中國學者也在這兩個方面做出了許多基礎性的貢獻，本項目主要圍繞這個研究課題開展研究工作。在基金委的資助下，經過項目成員三年來的不懈努力，我們取得了以下研究進展： (1). 在自仿集的拓撲結構方面，本項目主要研究了自仿集的連通性、類圓盤性、自仿tiling的準周期性質等，並取得了一系列研究成果。具體包括：我們考察了由二階擴張矩陣和連續共線數字集生成的自仿集的連通性，通過基數展開方法和多項式的一些技巧，我們成功的給出了自仿集連通性的一個充要條件。此結果與以往結論的明顯區別在於，我們放寬了對連續共線數字集的限制，但它包含了以往的相關結論，是一次成功的推廣；同時我們還研究了由非共線數字集生成的自仿tile的連通性質和類圓盤性質，以及相應的self-affine tiling 的準周期性質。 (2). 在李普希茲等價方面，本項目主要利用擴張樹上的雙曲結構和雙曲邊界理論來研究自相似集的李普希茲等價問題。首先通過在符號空間上引入一類簡單的擴張樹，研究它的拓撲結構和邊界，建立與自相似集的Holder等價關係；然後，在開集條件和壓縮比相同的條件下，我們得出了一大類完全不連通自相似集的等價性刻畫，後來進一步推廣，在弱分離條件和壓縮比不相同的條件下，我們也取得了一些令人滿意的結果。 (3).在分形方塊的研究方面，基於項目負責人的前期工作，本項目首次研究了3階分形方塊的拓撲分類和李普希茲分類。因為該課題問題簡單、有趣，但是研究方法複雜、多樣，所以吸引了一大批人在做這方面的工作，目前有大量正在進行的研究與此有關。 (4). 其他方面的突破，在分形測度的譜理論研究方面，本項目分析了由連續共線數字集生成的自仿測度的譜性與非譜性，我們成功的將一維的譜理論推廣到了高維。
