在歐氏幾何學中，將一個命題中的某些點換成圓，將這些點中某兩點的連線換成兩圓的公切線，將兩點間的距離換成兩圓的公切線(或連心線)的長，將另一點和這些點的連線換成另一點到這些圓的切線，將另一點到這些點的距離換成另一點到這些圓的冪，經過這樣的更換後所得命題仍然成立，這就叫膨脹原理。
基本介紹
- 中文名：膨脹原理
- 外文名：Expansion principles
原理概述,原理的部分例證,
原理概述
在歐氏幾何學中，將一個命題中的某些點換成圓，將這些點中某兩點的連線換成兩圓的公切線，將兩點間的距離換成兩圓的公切線(或連心線)的長，將另一點和這些點的連線換成另一點到這些圓的切線，將另一點到這些點的距離換成另一點到這些圓的冪，經過這樣的更換後所得命題仍然成立，這就叫膨脹原理．
點P對已知圓O的冪p=OP^2-r^2，r為圓O的半徑.故P在圓O外，p為切線長的平方；P在圓上，p=0；P在圓內，AB為過P的任一弦，則p=PA*PB.
原理的部分例證
1．一個動點到兩個定點的距離相等，那么這動點的軌跡是一條直線，就是這兩定點連線的垂直平分線．
將這個命題中的兩個定點膨脹成兩個圓，就得到下列命題：
一個動點到兩個圓的冪相等，那么這動點的軌跡是一條直線，就是這個圓的根軸．
2．一個動點到兩個定點的距離的平方和等於定值，那么這個動點的軌跡是一個圓．
將這個命題中的兩個定點膨脹成兩個圓，就得到下列命題：
一個動點到兩個圓的冪的和等於定值，那么這個動點的軌跡是一個圓．
3．一個動點到兩個定點的比等於定值，那么這個動點的軌跡是一個圓．
將這個命題中的兩個定點膨脹成兩個圓，就得到下列命題：
一個動點到兩個圓的冪的比等於定值，那么這個動點的軌跡是一個圓．
4．三角形的三個角的內外角平分線分別和對邊相交，共六個交點，這六個點分別在四條直線上，每條直線 上有兩個內分點和一個外分點或三個外分點．
將這個命題中的三角形的三個頂點膨脹成為三個圓，就得到下面定理：
如果三個圓的圓心不在一直線上，那么，每兩個圓的順位似心和逆位似心共六個點在四條直線上，每 條直線上有三點．
這裡的四條直線都叫做這三個圓的位似軸
5．三角形中，三條邊的垂直平分線交於一點，這個點就是三角形的外心.
在這個命題中，
(Ⅰ)．使三角形的一個頂點膨脹成圓，就得到命題：
已知☉A和圓外兩點B、C，過B和C分別作☉A的切線BD、BD′、CE、CE′、D、D′、E、E′為切點，設這四條切線的中點為F、F′、G、G′，那么FF′和GG′的交點在BC的垂直平分線上．
(Ⅱ)．使三角形的兩個頂點膨脹成圓，就得到命題：
已知☉B、☉C及其外一點A，過A作切線AD、AD′、AE、AE′分別切兩圓於D、D′、E、E′，設這四條切線的中點為F、F′、G、G′，又設☉B、☉C的兩條外公切線的中點為M、M′，那么FF′和GG′的交點在MM′上．
(Ⅲ)．使三角形的三個頂點都膨脹成圓，就得到命題：
三個圓中，每兩個圓有一條根軸，這三條根軸交於一點，這個點就是這三個圓的根心．
6．△ABC中，MN是邊BC的垂直平分線，AQ⊥MN，Q為垂足，那么AB^2－AC^2=2BC●AQ．
當B、C兩點膨脹後分別成為圓☉O1和☉O2(半徑分別為r1t和r2)後，BC的垂直平分線換成☉O1和☉O2的根軸MN，AB和BC應當換成A點到☉O1和☉O2的切線AB和AC，作AD⊥O1O2，就有AB^2－AC^2=2O1O2●AN．
這就是說：一點關於兩圓的冪的差，等於連心線與由此至根軸的距離之積的二倍．這就是著名的casey定理．
