《耦合振子鏈的波動形式》是依託蘇州大學，由秦文新擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：耦合振子鏈的波動形式
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：秦文新
- 依託單位：蘇州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
物理介質中的能量傳輸始終是人們關切的實際問題。而能量傳輸通常與物質的波動形式緊密相關。耦合振子鏈能模擬諸多物理、化學、工程甚至生物系統。因而耦合振子鏈中的波動形式與穩定性問題受到了廣泛關注和研究。Frenkel-Kontorova （FK） 模型、Fermi-Pasta-Ulam (FPU) 振子鏈和離散非線性 Schrodinger (DNLS)方程是最為著名的三個耦合振子模型。空間離散系統的行波問題的難點是需要求解混合型時滯微分方程。本項目致力於利用動力系統理論（如單調動力系統理論和 Aubry-Mather理論）、變分法和拓撲度理論研究這三個耦合振子鏈的行波解的存在性和穩定性。
結題摘要
基於動力系統理論（如單調系統，Aubry-Mather 理論），變分法，和拓撲度，我們研究了耦合振子鏈（如Frenkel-Kontorova 模型）的行波解。主要結果總結如下： 1． 我們研究帶有外力的粒子鏈的調製一致滑動態的存在性。如果沒有位置勢能，則對每個正外力，存在平凡的一致滑動態。如果耦合粒子鏈具有周期位置勢能以及凸的相互作用勢能，我們證明在一定條件下存在調製的一致滑動解。這個條件是系統為過阻尼的，並且外力要超過某個臨界值。此臨界值依賴於粒子的平均間距。如果外力小於此臨界值， 則系統具有無理平均間距的Birkhoff 平衡態，可以由兩個單調的殼函式來表示。 2． 我們考慮帶有周期外力的Frenkel-Kontorova 模型在過阻尼極限下的非共度結構。我們證明在無窮維的相空間中存在有序圓，Poincare 映射和空間移位映射都可以在其上誘導出圓周保向同胚。進一步我們證明具有無理平均間距的粒子鏈的平均速度存在，並且關於外力的平近值是連續的和單調增的。如果空間移位在此不變有序圓上是遍歷的，我們證明了雙變數殼函式的存在性以及鎖模現象的不存在性。 3． 我們研究雙原子Frenkel-Kontorova 模型勻速運動的調製結構。對有阻尼和驅動情形套用拓撲方法，對保守系統用變分法，我們證明了雙原子Frenkel-Kontorova 模型存在兩個調製函式，分別對應於輕原子和重原子。 4． 我們討論雙原子 Fermi-Pasta-Ulam 鏈的周期行波。通過套用極大極小原理，我們證實了對應於輕重粒子的兩個不同的周期波函式的存在性。對每個波數和每個頻率，我們的方法可以套用於 FPUβ-模型。如果波數和頻率滿足非共振條件，則我們的方法可以套用於帶有漸近二次勢能的FPU 振子鏈。 5． 我們給出了對 Bose-Einstein 凝聚態（BECs）套用平均法的框架。並得到了 BECs 的動力學。套用平均法，我們定出了調幅波的位置並且得到了當連續變化積分常數時這些調幅波形成葉狀結構。
