《群代數的雙曲模判別及套用》是依託山西大學，由靳平擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：群代數的雙曲模判別及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：靳平
- 依託單位：山西大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
近年來Isaacs, Dade, Loukaki和Lewis等人在有限群的特徵標對應及M-群的工作中，一再地顯示出雙曲模具有獨特而重要的技術功效，特別是它能消解特徵標的完全分歧現象。雙曲模的判別方法主要有Dade定理和Loukaki定理，屬於有限群在小域上的表示，涉及到有限辛幾何。申請人在最近發表的論文中，首次提出了雙曲模的特徵多項式判別法，改進了Loukaki定理， J.Algebra審稿人評價該文為retains a lot of originality. 本項目將使用Brauer特徵標，研究一般有限群在任意有限域上辛模的雙曲性判別問題，目標是建立類似的特徵多項式判據，彌補Dade定理的不足。在套用方面，以雙曲模為核心技術，擬推廣Isaacs和Dade關於特徵標完全分歧對應的兩個定理、得到Glauberman-Isaacs對應的一個新的精確描述、改進Loukaki的M-群定理。
結題摘要
本項目擬解決的核心問題(即問題1)是建立雙曲模的特徵多項式判別法. 申請人與項目組主要成員樊惲教授合作,於2012年在Journal of Algebra發表的論文中, 解決了基域特徵為奇素數情形. 但餘下的是基域特徵為2的情形, 被公認為是雙曲模判別中最艱難的問題. 申請人和樊惲教授合作, 使用自對偶模的Grothendieck群等技術, 在2014年底徹底解決了該問題. 我們獲得了任意群在特徵2域上的雙曲模判別方法, 找到了所需的特徵多項式判據, 在套用部分還解決了自對偶碼的自同構群的刻畫問題, 所得成果於2015年發表在美國《Advances in Mathematics》上. 值得一提的是, 審稿人在評審報告中寫道: The main results are quite surprising and nice with interesting applications in representation and coding theory. They definitely should go in print. 我們認為這是非常高的評價. 此外, 審稿人還建議把論文題目中的Hyperbolic modules(雙曲模)改為Metabolic modules, 他認為後者在拓撲學中更常見和更常用. 在本項目的理論部分得到徹底解決後, 在套用部分我們研究了其餘三個問題, 也分別完整地解決了問題2(即統一併推廣了Isaacs和Dade的特徵標完全分歧對應定理)和問題3(獲得了Glauberman-Isaacs特徵標對應的精確描述及其乘法形式). 最後一個是問題4(即改進Loukaki關於M-群的定理), 由於研究方案的改變和時間調整, 我們尚未取得所期望的突破, 但發表了若干相關的研究成果. 本項目在執行期間舉辦一次和參加三次學術會議, 培養了15名碩士生, 兩名博士生和兩名青年教師.
