罕見三角函式

罕見三角函式主要有：正矢函式、余矢函式、半正矢函式、半余矢函式、外正割函式和外餘割函式等。

定義

數值定義

函式名	與常見函式轉化關係
正矢函式	versinθ=1-cosθ
	vercosinθ=1+cosθ
余矢函式	coversinθ=1-sinθ
	covercosinθ=1+sinθ
半正矢函式	haversinθ=(1-cosθ)/2
	havercosinθ=(1+cosθ)/2
半余矢函式	hacoversinθ=(1-sinθ)/2
	hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函式	exsecθ=secθ-1
外餘割函式	excscθ=cscθ-1

圖像定義

如圖：

性質

奇偶性

全是非奇非偶。

增減性

以下k∈Z

versina/haversina/exseca減：((2k-1)π,2kπ)增：(2kπ,(2k+1)π)

vercosa/havercosa增：((2k-1)π,2kπ)減：(2kπ,(2k+1)π)

coversina/hacoversina增：(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)減：(2kπ-π/2,2kπ+π/2)

covercosa/hacovercosa/excsca減：(2kπ+π/2,2kπ+3π/2)增：(2kπ-π/2,2kπ+π/2)

周期性

均為2kπ。

對稱軸

versina/vercosa/exseca/haversina/havercosa：x=kπ+π/2

coversina/covercosa/excsca/hacoversina/hacovercosa：x=kπ

最值

versina=-cosa+1

最大值：-a+b=2在a=(2k+1)π處取得

最小值：a+b=0在a=2kπ處取得

vercosa=cosa+1

最大值：a+b=2在a=2kπ處取得

最小值：-a+b=0在a=(2k+1)π處取得

coversina=-sina+1

最大值：-a+b=2在a=2kπ-π/2處取得

最小值：a+b=0在a=2kπ+π/2處取得

covercosa=sina+1

最大值：a+b=2在a=2kπ-π/2處取得

最小值：-a+b=0在a=2kπ+π/2處取得

haversina=-1/2cosa+1/2

最大值：-a+b=1在a=(2k+1)π處取得

最小值：a+b=0在a=2kπ處取得

havercosa=1/2cosa+1/2

最大值：a+b=1在a=2kπ處取得

最小值：-a+b=0在a=(2k+1)π處取得

hacoversina=-1/2sina+1/2

最大值：-a+b=1在a=2kπ-π/2處取得

最小值：a+b=0在a=2kπ+π/2處取得

hacovercosa=1/2sina+1/2

最大值：a+b=1在a=2kπ+π/2處取得

最小值：-a+b=0在a=2kπ-π/2處取得

對稱點

versina/vercosa：(kπ,1)

coversina/covercosa：((k+1/2)π,1)

haversina/havercosa：(kπ,1/2)

hacoversina/hacovercosa：((k+1/2)π,1/2)

exseca：((k+1/2)π,-1)

excsca：(kπ,-1)

導數

(versina)'=-cosa

(vercosa)'=cosa

(coversina)'=sina

(covercosa)'=-sina

(haversina)'=-cosa/2

(havercosa)'=cosa/2

(hacoversina)'=sina/2

(hacovercosa)'=-sina/2

(exseca)'=secatana

(excsca)'=cscacota

公式

加減

可根據罕見三角函式的定義來求。

二倍角

versin(2a)=2cos^2(a)

vercos(2a)=2sin^2(a)

coversin(2a)=(sina-cosa)^2

covercos(2a)=(sina+cosa)^2

haversin(2a)=2cos^2(a)

havercos(2a)=2sin^2(a)

hacoversin(2a)=(sina-cosa)^2

hacovercos(2a)=(sina+cosa)^2