線性正運算元逼近，線性運算元逼近論的一個重要組成部分（見函式逼近論），其特點在於用做逼近工具的線性運算元序列是正性的（或單調性的）。
基本介紹
- 中文名：線性正運算元逼近
- 所屬領域：數學
在函式的逼近問題中，很多用代數多項式或三角多項式作逼近手段的逼近過程，比如熟知的泰勒級數的部分和。傅立葉級數的部分和，各種典型平均以及各種插值多項式等等都是一些線性運算元。
一般地講，設{Ln}是巴拿赫空間x（例如連續函式空間C，p次可積函式空間Lp(p≥1)等）到自身的線性運算元序列，則運算元逼近主要研究如下兩個方面的課題。
①對於給定的運算元序列{Ln}，當n→∞時，對任意確定的f∈x，序列Ln(f)是否依x上的範數收斂於f這個問題的研究通常用建立運算元序列的收斂定理來實現。
②研究f的光滑性與逼近度‖f-Ln(f)‖X趨於零的速度之間的關係。這個問題的研究通常用建立運算元逼近中的直接定理、逆定理，考察運算元逼近的飽和現象以及某些特殊函式類的逼近度量來實現。當{Ln}是線性正運算元序列（即對每個n和f≥0，恆有Ln(f)≥0）時，上述兩個方向的研究是比較深入的。
特別是∏.∏.科羅夫金提出試驗集概念之後，在C空間和Lp空間中成功地建立了用線性正運算元逼近的收斂定理，以及利用線性正運算元對試驗集中函式的逼近度建立各種直接定理和逆定理。
關於線性正運算元飽和現象的研究，在周期情況下，利有傅立葉變換技巧獲得較完善的結果;在非周期情況，則利用拋物線技巧得到解決。
應當指出，由於線性正多項式運算元的逼近階不高於1/n2，因而作為解決逼近論中基本問題的良好工具，線性正多項式運算元的套用有一定的局限性。
然而，對於上面提出的兩個方向的研究，線性正運算元逼近中的正性是本質的，因為正如C.M.洛津斯基、Ф.И.哈爾希拉布澤所指出的：不存在非正性的線性多項式運算元序列能夠肯定地回答第一個問題。線性正運算元逼近的研究，在中國取得不少新的成果，提出過一些新的方法，同時在套用上也取得了新的進展。
