絕對形

絕對形為射影空間（或平面）中一個二次曲面（或曲線），它確定射影幾何的某個子幾何的圖形性質。

基本介紹

• 中文名：絕對形
• 外文名：absolute
• 提出者：孫澤瀛
• 提出時間：1959
• 套用學科：數學
• 屬性：數學名詞
• 相關名詞：射影幾何學

定義

設 S 是給定的空間， U 是 S 上的一個圖形，若 S 到自身的一個變換 g 把 U 變到 U 自身，則稱 g 是關於 U 的自同構變換，在變換中保持不變的這個圖形 U 稱為絕對形。

例如，在射影平面上取一條直線作無窮遠直線，則在射影平面上保持無窮遠直線不變的自同構射影變換構成一個變換群，它是關於無窮遠直線的自同構群，同時它也是二位射影變換的子群，即仿射變換群。

擴大歐氏空間的絕對形

在擴大歐氏空間，一切球面都和無窮遠平面交於一條虛跡二次曲線。

經過с∞的一切二次曲面都是球面（包括半徑等於零的點球），和с∞相交的非無窮遠直線叫做迷向直線，和с∞相切的非無窮遠平面叫做迷向平面。把絕對形變成自己的一切空間射影變換構成空間相似變換群。空間全等變換群或運動群是空間相似變換群的子群。

一個非無窮遠實平面和無窮遠圓的兩個交點就是該平面上的無窮遠圓點（該平面上的絕對形）。於是空間的兩條直線間的角和兩點間的距離也都可以依次通過這兩條直線和兩點同它們同絕對形之間的射影關係表達。

非歐空間的絕對形

簡介

兩種非歐幾何以及閔科夫斯基幾何都是射影幾何的子幾何，在其相應的空間裡也都分別有其絕對形。通過這些絕對形，可以分別把其相應幾何中的度量性質賦予射影解釋。

到n維的推廣

一般地，在 n 維射影空間 Pⁿ里取一個二次超曲面，令不變的射影變換構成 Pⁿ 里射影群的一個子群，這個子群以及屬於它的射影幾何的子幾何(見埃爾朗根綱領)都被完全確定，就叫做該子幾何的絕對形。理論上，任意圖形（屬於該子幾何）的性質都決定於該圖形和的射影關係。

進一步的推廣

設 G 為作用於空間 S 的一個變換群，為 S 里一個圖形，變換群 G 中令不變的一切變換構成 G 的一個子群G1，就是那個屬於 G1 的子幾何的絕對形，在該幾何中，圖形的性質都決定於的選擇。