結合子(associator)是在非結合代數中用來度量給定的三個元素結合性的一個元素。設A是非結合代數，對任意x，y，z∈A，稱(x，y，z)=(xy)z-x(yz)為x，y，z的結合子。在結合代數中，每個結合子都是0。
基本介紹
- 中文名：結合子
- 外文名：associator
- 領域：數學
- 學科：非結合代數
- 性質：一個元素
概念,非結合代數,交錯代數,若爾當代數,
概念
結合子(associator)是在非結合代數中用來度量給定的三個元素結合性的一個元素。設A是非結合代數，對任意x，y，z∈A，稱(x，y，z)=(xy)z-x(yz)為x，y，z的結合子。在結合代數中，每個結合子都是0。在交錯代數中，對任意兩個元素x，y恆有：(x，x，y)=(y，x，x)=0。
在若爾當代數中，對任意兩個元素x，y恆有(x，y，x)=0.結合子對於x，y，z三個分量來說都是線性的。
非結合代數
非結合代數是抽象代數學的一個重要分支，與結合環和結合代數理論在概念與術語的使用上、問題的背景與提出的方式上、討論中的思路與解決問題的方法上都有密切聯繫.若集合R上有兩個二元運算：加法“+”和乘法“·”，而且：
1.(R，+)是加法群；
2.R的乘法“·”對其加法“+”滿足分配律，即對任意x，y，z∈R，恆有：
(x+y)·z=x·z+y·z，
z·(x+y)=z·x+z·y；
則稱(R，+，·)是一個非結合環。進而，
3.若(R，+)是域F上的線性空間，且對任意α∈F，任意x，y∈R有：
α(x·y)=(αx)·y=x·(αy)；
則稱(R，+，·)是域F上的一個非結合代數。也稱非結合環、非結合代數為分配環和分配代數。設(A，+，·)是一個非結合代數，若它對其乘法滿足結合律或交錯律或若爾當律或雅可比恆等式等，就分別稱其為結合代數、交錯代數、非交換若爾當代數、李代數等。因為，結合環必為非結合環，每個結合代數都是非結合代數，所以，字頭“非”意味著乘法滿足結合律與不滿足結合律的環與代數的總和。由於結合環與結合代數的研究工作起步早、成果多，已自成系統，所以在非結合代數與非結合環理論中通常將那些“結合的”系統排除在外。同樣道理，李代數已形成獨立局面，而不再被包含在一般非結合代數中。
一些重要的非結合代數是受到量子力學、統計物理等刺激發展起來的，但是在其代數結構的理論探討上，可以說，基本上是沿著結合代數結構理論的路子向前發展。如引入理想、同態、商代數、根、直和、鏈條件、半單等概念，分別討論各種類型非結合代數的韋德伯恩定理存在的可能性等。
交錯代數
交錯代數是滿足特別公理的一種非結合代數。指它的任意兩個元素x，y恆有：
x2y=x(xy)， y2x=(yx)x。
寫成結合子形式，即(x，x，y)=(y，x，x)=0.交錯意味著對任意一個3級置換σ恆有：
(x1，x2，x3)=(sgnσ)(xσ(1)，xσ(2)，xσ(3))。
交錯代數中任意兩個元素生成的子代數都是結合的。有限維交錯代數是半單的，若且唯若它是其單理想之直和。
若爾當代數
若爾當代數是一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式.所謂非結合代數滿足若爾當恆等式，是指對它的任意元素x，y，恆有xy=yx及(xy)x2=x(yx2).任何交換(結合)代數都是若爾當代數。特徵數為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數恆可惟一地表為其單理想之直和。對於有限維若爾當代數，理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數是20世紀30年代初由物理學家若爾當(Jordan，P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。
