組合總數

組合總數

組合總數(total number of combinations)是一個正整數,指從n個不同元素里每次取出0個,1個,2個,…,n個不同元素的所有組合數的總和,即Cn+Cn+Cn+…+Cn=2,n元集合的組合總數是它的子集的個數。從n個不同元素中每次取出m個不同元素而形成的組合數的性質是:1.Cn=Cn;2.Cn+1=Cn+Cn (m≤n)。利用這兩個性質,可化簡組合數的計算及證明與組合數有關的問題。

基本介紹

  • 中文名:組合總數
  • 外文名:total number of combinations
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:排列組合
基本介紹,例題解析,

基本介紹

從m個不同元素中,任取出n個成一組,稱為一個組合。這樣得到的不同組合的總數記作
,例如,從四個元素a、b、c、d中每次取三個,得到
個不同組合,即abc,abd,acd,bcd。
假定有n個相異元素,從其中任取1個或數個,總共有
種選法。另一方面,如果依次考慮每個元素,則都有“取”與“不取”2種處理方法,依照乘法定理,總共有2×2×...×2=2種處理方法,其中有一種處理方法是n個元素都不取,這個方法不合題意,如果捨去,總共有2-1種選法。 因此,我們得到:
這個公式稱為組合總數公式。如果不捨去n個元素都不取的情況,總共有2種選法:
一般,如果有n種不同的元素,第一種元素有m1個,第二種元素有m2個,....第 n種元素有mn個,則從這些元素中任取若干個的組合總數為
如果每種元素都只有一個,即m1=m2 =....=mn=1,則上式等於2-1,就是n個相異元素的組合總數。

例題解析

【例1】某同志身上有二元、一元、五角、一角、五分、二分、一分人民幣各一張,用這些人民幣能夠付多少種不同的款額?
分析 從這7張不同人民幣中任意取出一張或幾張, 就可以付一種款額,而且不同的取法所得到的款額也不同,所以總共可付
種不同的款額。
【例2】一條電路由n個開關組成, 每個開關有“通”與“不通”兩種狀態,試問整個電路有多少種不同狀態?
分析 依次考慮n個開關,每個開關都有“通”與“不通”兩種狀態,所以整個電路有2”種不同狀態。在本例中,n個開關都不通也是一種狀態,不需要減去。
組合總數問題的分析方法是很重要的,以下我們把它推廣到更加一般的形式:
【例3】書店有相同的英文書3本、相同的俄文書2本、日文書1本,某同志想從這些書中選購若干本,可以有多少種選法?
分析 本題6本書不全是相異的,不能套用上面的公式。 但是我們可以仿照組合總數問題的分析方法,一個文種一個文種地考慮:
先考慮英文書, 可以有4種處理方法:買1本、 買2本、 買3本、買0本( 1本都不買) ;再考慮俄文書,可以有3種處理方法: 買1本、買2本、買0本;最後考慮日文書, 有2種處理方法: 買1本、買0本; 所以,這三種書總共有4×3×2 =24種處理方法,從其中減去“全都不買”一種處理方法,則至少選購一本的方法數有4×3x2-1=23種。
【例4】求720總共有多少個因數?
分析 先把720分解為素因數的乘積:
720共有7個素因數,其中有4個2、 2個3、 1個5, 從這些素因數中任取若干個相乘, 就得到720的一個因數。先考慮素因數2,可取0次、 1次、2次、 3次或4次冪,有4+1=5種處理方法;再考慮素因數3,可取0次、 1次或2次,有2+1=3種處理方法;再考慮素因數5, 可取0次或1次,有1+1=2種處理方法,總共有
種處理方法。如果每個素因數都取0次冪,則所得的積為1,,它也是720的一個因數,這種處理方法不必減去。故720共有30個因數。
一般,設正整數n的素因數分解式為

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