紐曼定理是揭示有理逼近遠遠優於多項式逼近的定理。循著紐曼的途徑，人們發現了許多En(f)與Rn(f)不同階的函式f。
基本介紹
- 中文名：紐曼定理
- 外文名：Neuman theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,發展,有理逼近,
簡介
紐曼定理是揭示有理逼近遠遠優於多項式逼近的定理。
1964年，紐曼(Neuman,D.J.)證明了如下的定理：對n≥5，存在(n,n)階有理函式rn(x)，使得
因此，
。但在[-1,1]上En(|x|)的階是n-1，即存在與n無關的正數C，使得
因此，Rn(|x|)在n→∞時收斂於零的速度要比En(|x|)收斂於0的速度快得多。
發展
循著紐曼的途徑，人們發現了許多En(f)與Rn(f)不同階的函式f。
弗洛伊德(Freud,G.)指出，若在[-1,1]上f∈Lipα並且有有界變差，則
波波夫(Popov,V.A.)指出，對導數的全變差小於1的絕對連續函式f，有Rn(f)=O(n-2)。由此可以推出，若在[-1,1]上f∈Lip1，則
這原是紐曼於20世紀60年代提出的一個猜想。
有理逼近
有理逼近是有理函式對連續函式的逼近。
有理函式是兩個代數多項式之比，其中分母在所考慮的自變數區間內不等於零。在切比雪夫研究多項式逼近的同時也就已經考慮了有理函式的最佳逼近理論。但真正受到重視是在1964 年紐曼(D.J.Newman) 發現用 n 次有理函式在[-1,1]上通近函式[x]的過近度可以達到
的驚人結果發表以後。
許多與代數多項式逼近問題可對有理函式通近作平行的討論。例如，關於有理逼近的正定理和逆定理也都已建立。
