紅黑樹

紅黑樹（Red Black Tree） 是一種自平衡二叉查找樹，是在計算機科學中用到的一種數據結構，典型的用途是實現關聯數組。

它是在1972年由Rudolf Bayer發明的，當時被稱為平衡二叉B樹（symmetric binary B-trees）。後來，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改為如今的“紅黑樹”。

紅黑樹和AVL樹類似，都是在進行插入和刪除操作時通過特定操作保持二叉查找樹的平衡，從而獲得較高的查找性能。

它雖然是複雜的，但它的最壞情況運行時間也是非常良好的，並且在實踐中是高效的： 它可以在O(log n)時間內做查找，插入和刪除，這裡的n 是樹中元素的數目。

基本介紹

• 中文名：紅黑樹
• 外文名：RED-BLACK-TREE
• 性質：自平衡二叉查找樹
• 用途：實現關聯數組
• 發明人：魯道夫·貝爾
• 發明時間：1972年
• 別名：對稱二叉B樹

數據結構

它的統計性能要好於平衡二叉樹(有些書籍根據作者姓名，Adelson-Velskii和Landis，將其稱為AVL-樹)，因此，紅黑樹在很多地方都有套用。在C++ STL中，很多部分(包括set, multiset, map, multimap)套用了紅黑樹的變體(SGI STL中的紅黑樹有一些變化，這些修改提供了更好的性能，以及對set操作的支持)。其他平衡樹還有：AVL，SBT，伸展樹，TREAP 等等。

紅黑樹

樹的旋轉

當我們在對紅黑樹進行插入和刪除等操作時，對樹做了修改，那么可能會違背紅黑樹的性質。

為了保持紅黑樹的性質，我們可以通過對樹進行旋轉，即修改樹中某些結點的顏色及指針結構，以達到對紅黑樹進行插入、刪除結點等操作時，紅黑樹依然能保持它特有的性質（五點性質）。

如右圖。

性質

紅黑樹是每個節點都帶有顏色屬性的二叉查找樹，顏色或紅色或黑色。在二叉查找樹強制一般要求以外，對於任何有效的紅黑樹我們增加了如下的額外要求:

性質1. 節點是紅色或黑色。

性質2. 根節點是黑色。

性質3 每個紅色節點的兩個子節點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色節點)

性質4. 從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。

這些約束強制了紅黑樹的關鍵性質: 從根到葉子的最長的可能路徑不多於最短的可能路徑的兩倍長。結果是這個樹大致上是平衡的。因為操作比如插入、刪除和查找某個值的最壞情況時間都要求與樹的高度成比例，這個在高度上的理論上限允許紅黑樹在最壞情況下都是高效的，而不同於普通的二叉查找樹。

要知道為什麼這些特性確保了這個結果，注意到性質3導致了路徑不能有兩個毗連的紅色節點就足夠了。最短的可能路徑都是黑色節點，最長的可能路徑有交替的紅色和黑色節點。因為根據性質4所有最長的路徑都有相同數目的黑色節點，這就表明了沒有路徑能多於任何其他路徑的兩倍長。

在很多樹數據結構的表示中，一個節點有可能只有一個子節點，而葉子節點不包含數據。用這種範例表示紅黑樹是可能的，但是這會改變一些屬性並使算法複雜。為此，本文中我們使用 "nil 葉子" 或"空(null)葉子"，如上圖所示，它不包含數據而只充當樹在此結束的指示。這些節點在繪圖中經常被省略，導致了這些樹好象同上述原則相矛盾，而實際上不是這樣。與此有關的結論是所有節點都有兩個子節點，儘管其中的一個或兩個可能是空葉子。

術語

紅黑樹是一種特定類型的二叉樹，它是在計算機科學中用來組織數據比如數字的塊的一種結構。所有數據塊都存儲在節點中。這些節點中的某一個節點總是擔當起始位置的功能，它不是任何節點的兒子，我們稱之為根節點或根。它有最多兩個"兒子"，都是它連線到的其他節點。所有這些兒子都可以有自己的兒子，以此類推。這樣根節點就有了把它連線到在樹中任何其他節點的路徑。

如果一個節點沒有兒子，我們稱之為葉子節點，因為在直覺上它是在樹的邊緣上。子樹是從特定節點可以延伸到的樹的某一部分，其自身被當作一個樹。在紅黑樹中，葉子被假定為 null 或空。

由於紅黑樹也是二叉查找樹，它們當中每一個節點的比較值都必須大於或等於在它的左子樹中的所有節點，並且小於或等於在它的右子樹中的所有節點。這確保紅黑樹運作時能夠快速的在樹中查找給定的值。

用途

紅黑樹和AVL樹一樣都對插入時間、刪除時間和查找時間提供了最好可能的最壞情況擔保。這不只是使它們在時間敏感的套用如即時套用(real time application)中有價值，而且使它們有在提供最壞情況擔保的其他數據結構中作為建造板塊的價值；例如，在計算幾何中使用的很多數據結構都可以基於紅黑樹。

紅黑樹在函式式編程中也特別有用，在這裡它們是最常用的持久數據結構之一，它們用來構造關聯數組和集合，在突變之後它們能保持為以前的版本。除了O(log n)的時間之外，紅黑樹的持久版本對每次插入或刪除需要O(log n)的空間。

紅黑樹是 2-3-4樹的一種等同。換句話說，對於每個 2-3-4 樹，都存在至少一個數據元素是同樣次序的紅黑樹。在 2-3-4 樹上的插入和刪除操作也等同於在紅黑樹中顏色翻轉和旋轉。這使得 2-3-4 樹成為理解紅黑樹背後的邏輯的重要工具，這也是很多介紹算法的教科書在紅黑樹之前介紹 2-3-4 樹的原因，儘管 2-3-4 樹在實踐中不經常使用。

操作

在紅黑樹上唯讀操作不需要對用於二叉查找樹的操作做出修改，因為它也是二叉查找樹。但是，在插入和刪除之後，紅黑屬性可能變得違規。恢復紅黑屬性需要少量(O(log n))的顏色變更(這在實踐中是非常快速的)並且不超過三次樹旋轉(對於插入是兩次)。這允許插入和刪除保持為 O(log n) 次，但是它導致了非常複雜的操作。