約化性(reduction)是集合類的一種性質。設有集合類Γ中的任何兩個集合A，B，若存在A′，B′∈Γ，使得A′⊆A，B′⊆B，同時A′∪B′=A∪B，且A′∩B=∅，則稱Γ具有約化性，記為Reduction(Γ)。
基本介紹
- 中文名：約化性
- 外文名：reduction
- 領域：數學
- 學科：集合論
- 記號：Reduction(Γ)
- 重要人物：庫拉托夫斯基
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概念
約化性是集合類的一種性質。設有集合類Γ中的任何兩個集合A，B，若存在A′，B′∈Γ，使得A′⊆A，B′⊆B，同時A′∪B′=A∪B，且A′∩B=∅，則稱Γ具有約化性，記為Reduction(Γ)。可以將此定義中的兩個集合推廣為三個、有窮個或無窮個集合，相應地稱為n約化性和無窮約化性。對於每個n>1，∑n有約化性，從而波萊爾集類有約化性(並且也有n約化性、無窮約化性).此外，波蘭數學家庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)還證明了CA集類具有約化性，即Reduction(∏1)。集合類Γ的約化性可由Γ的準良序性推得，這只須Γ在有限交、有限並和連續前像映射下封閉。
集合
集合是現代數學的一個重要的基本概念。當我們把一組確定的事物作為整體來考察時，這一整體就叫做集合。
例如，(1)從1到10這10個自然數的全體；(2)小於100的所有質數的全體；(3)全體自然數；(4)一個班所有學生這一整體；(5)世界上所有國家組成的一個整體；等等，它們都是集合的例子。
上述例子可以看出，它們都是分別由不同的對象組成的一個整體，它們的特點是有確定的對象和具有一定的範圍。所以集合這個概念可以用以下的語言來描述：
集合是具有一定範圍的、確定的對象的全體。集合也簡稱為集。
在數學中，集合是一個不加定義的“原始概念”。這就是說，不能用比它更原始的概念去定義它。因此，集合在數學中被作為原始的最基本的概念來定義其它數學概念。集合是數學概念的出發點。
集合概念具有以下一些屬性：
(1)集合指的是一類事物的整體，而不是指其中的個別事物。
(2)集合中的任一對象具有確定性，即對於任何事物，可以通過某種法則確定其是否屬於某集合，或不屬於某集合，二者必居其一。(應指出，不具有這條屬性的，界限不清的集合是模糊集合。我們這裡所說的集合不是模糊集合，而是普通集合。)
(3)在一般情況下，約定一個集合中的各個對象是互不相同的。凡一個集合中所有相同的對象均應合併起來成為一個對象。例如，由1，1，2，2四個數組成的集合，應變成由1，2兩個數組成的集合。
(4)在一般情況下，集合只與組成它的成員有關，而與它的成員的順序無關。如由1，2，3，4組成的集合與由2，1，4，3組成的集合是同一個集合。
(5)一個集合不必由同一類事物作為它的對象。例如，由2， 3，a，b可以組成一個集合。
集合一般用大寫字母A，B，C，…表示。
集合論
集合論，由於古典分析的需要而產生，它是由康托從1872年起建立的。直到十九世紀末，集合論的概念還是直觀的. 我們引述康托本人給出的著名定義：“人們將集合理解為能用我們的直覺或思維很好分辨的一些對象的組合. ”但是，集合的利用若不藉助某種確切的法則，便很容易導致悖論. 例如，象這樣來定義一個整數是矛盾的：“用少於十六個法語詞不可能定義的整數中之最小者”(《le plus petit entier quin’est pas definissable en moins deseize mots francais》)。 因為這個定義本身僅含十五個法語詞。
悖論“理髮師替村子裡所有不給自己刮鬍子的人刮鬍子；試問理髮師替自己刮鬍子嗎”開始是作為一個好笑的問題提出來的。但卻引起了基礎的危機。事實上，在數學形式下，所有不是自己的元素的集合所成之集合的概念是矛盾的。直覺的觀點隱藏著將一些不是由數學屬性來定義的對象的集體視為集合的危險。
下象棋的規則不僅要定義棋子，還要定義這些棋子之間的關係. 同樣，從數學上說來，不僅要定義集合及關係，還要定義公理及演繹法則，這些法則應儘可能地保留康托理論的結果並完全防止矛盾。
集合論最早的公理化是策莫洛在1908年作出的；而於1922年和1923年為弗蘭克爾及斯科爾姆所改進。另一種公理化用到類的概念，是由馮.諾伊曼於1925年給出的，並由戈德爾與貝爾內斯在1937年補充過。
庫拉托夫斯基
波蘭數學家。1896年2月2日生於華沙，1980年6月18日在華沙去世。就讀於蘇格蘭格拉斯哥大學和華沙大學，1927年獲華沙大學博士學位。同年任利沃夫工業大學教授，1943年任華沙大學教授。1945年成為波蘭研究院成員，1952年波蘭科學院一成立即成為院士。1946—1953年任波蘭數學會主席。1948—1967年任波蘭科學院數學研究所所長，後任科學委員會主席;1957—1968年任波蘭科學院副院長;1963—1966年任國際數學聯盟副主席。他是蘇聯科學院和奧地利等多家科學院的外籍院士，匈牙利、義大利等多家科學院名譽院士。他曾多年擔任《基礎數學》和《波蘭科學院通報》等雜誌的主編。
庫拉托夫斯基的研究工作涉及集合論、點集拓撲、單變數實變函式理論、圖論等領域。1922年，他藉助於閉包運算元給出了拓撲空間的一般定義。他是波蘭數學學派的重要人物之一，在點集拓撲領域有不少重要工作。他還和A·塔爾斯基一起研究過射影集合論與邏輯學之間的關係。1951年庫拉托夫斯基獲國家一等科學獎和公共教育部獎，1979年獲國家特別獎。他著有《拓撲學Ⅰ，Ⅱ》(TopologieⅠ，1933;Ⅱ，1950)、《集合論》(Set Theory，1952;與莫斯托夫斯基合作)、《集合論與拓撲引論》( Introductionto Set Theory and Topology，1955)和《半個世紀的波蘭數學》(A Half Century of Polish Mathematics， 1980)等。
