系統F

系統F，也叫做多態lambda演算或二階lambda演算，是有類型lambda演算。它由邏輯學家Jean-Yves Girard和計算機科學家John C. Reynolds獨立發現的。系統F形式化了程式語言中的參數多態的概念。

基本介紹

• 中文名：系統F
• 又稱：多態lambda演算
• 定義：形式化了程式語言中的參數多態
• 領域：計算機科學

簡介

正如同lambda演算有取值於（rang over）函式的變數，和來自它們的粘合子（binder）；二階lambda演算取值自類型，和來自它們的粘合子。

作為一個例子，恆等函式有形如A→ A的任何類型的事實可以在系統F中被形式化為如下式判斷：

這裡的α是類型變數。

在Curry-Howard同構下，系統F對應於二階邏輯。

系統F，和甚至更加有表達力的lambda演算一起，可被看作Lambda立方體的一部分。

邏輯和謂詞

布爾類型被定義為： ，這裡的α是類型變數。這產生了下列對布爾值TRUE和FALSE的兩個定義，如下式：

接著，通過這兩個λ-項，我們可以定義一些邏輯運算元：

實際上不需要IFTHENELSE函式，因為你可以只使用原始布爾類型的項作為判定（decision）函式。但是如果需要一個的話：

謂詞是返回布爾值的函式。最基本的謂詞是ISZERO，它返回TRUE若且唯若它的參數是邱奇數0：

系統F結構

系統F允許以同Martin-Löf類型論有關的自然的方式嵌入遞歸構造。抽象結構（S）是使用構造子建立的。有函式被定類型為：

當S自身出現類型 中的一個內的時候遞歸就出現了。如果你有m個這種構造子，你可以定義S為：

例如，自然數可以被定義為使用構造子的歸納數據類型N

對應於這個結構的系統F類型是 。這個類型的項由有類型版本的邱奇數構成，前幾個是：

如果我們反轉curried參數的次序（比如 ），則n的邱奇數是接受函式f作為參數並返回f的n次冪的函式。就是說，邱奇數是一個高階函式-- 它接受一個單一參數函式f，並返回另一個單一參數函式。

用在程式語言中

本文用的系統F版本是顯式類型的，或邱奇風格的演算。包含在λ-項內的類型信息使類型檢查直接了當。JoeWells（1994）設立了一個"難為人的公開問題"，證明系統 F的Curry-風格的變體是不可判定的，它缺乏明顯的類型提示。

Wells的結果暗含著系統F的類型推論是不可能的。一個限制版本的系統F叫做"Hindley-Milner"，或簡稱"HM"，有一個容易的類型推論算法，並用於了很多強類型的函式式程式語言，比如Haskell和ML。