簡單計數問題

基本內容

排列定義：一般地，從n個不同元素中取出m (m≤n) 個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列。

組合定義：一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素並成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

1.把具體問題化歸為排列或組合問題；
2.通過分析確定運用兩個計數原理；
3.分析題目條件，避免重複或遺漏；
4.列出式子，準確計算。

解決計數問題的常用策略有：

（1）特殊元素優先安排：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應優先排列，然後在排列其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應優先考慮，然後再排其他剩餘位置。

（2）相鄰問題捆綁處理（先整體後局部）：在解決對於某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個大元素進行排序，然後再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法。

（3）不相鄰問題插空處理："不鄰問題"插空法，即在解決對於某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略。

（4）順序一定問題除法處理：當某些元素次序一定時，可用調序法。先將n個元素進行全排列

種，m(m<n)個元素的全排列有

種，由於要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有

種排法。

例1.用0,2,3,4,5這五個數字，組成沒有重複數字的三位數，其中偶數共有（）個。

解：因組成的三位數為偶數，個位的數字必須是偶數，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，應優先安排，按0排在個位和0不排在個位分為兩類：①當0排在個位時，有

個；②當0不排在個位時，三位偶數有

個。由分類加法計數原理，其中偶數共有30個。

例2.從單詞“equation”中選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相連且順序不變)的不同排列共有( )種。

解：先將“qu”看成一個元素，再從剩餘的6個元素中取出3個元素，共有

種不同取法，然後對取出的4個元素進行全排列，有

種方法，由於“qu”順序不變，根據分步乘法計數原理共有

=480種不同排列．

例3.要為5名志願者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人不相鄰且不排在兩端，不同的排法共有（）種。

解：先排五名志願者，兩位老人插空。5名志願者的排法有

種，2位老人不相鄰且不排在兩端，採用插空，中間四個空，有

種，由分步乘法計數原理共有

=1 440種。