穩定局部跡公式

《穩定局部跡公式》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由彭志峰擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：穩定局部跡公式
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：彭志峰
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

朗蘭茲綱領是當今數論關注的核心之一。它由兩部分組成，一部分為經典的朗蘭茲綱領，這是Langlands在上個世紀60年代提出的，旨在建立數論和表示論之間的聯繫。另一部分為幾何朗蘭茲綱領，這是由基本引理的證明者吳寶珠教授和Frenkel於本世紀發展起來的重要研究方向，旨在建立幾何與物理之間的聯繫，這是一個新的與經典朗蘭茲綱領平行的理論，所以我們稱之為幾何朗蘭茲綱領。.本項目主要關注的是經典朗蘭茲綱領，目前有兩種研究經典朗蘭茲綱領的方法，一種是L函式的方法，另一種是跡公式。其中跡公式被認為是解決朗蘭茲綱領的一般方法。它在特殊情形Endoscopy理論上取得了成功，這主要是Arthur, Ngo等人的工作。本項目的研究任務有兩個，第一個是在實數域的情況下研究局部跡公式的譜項，第二個是跡公式的套用，如給出整體的重數公式。

結題摘要

Langlands綱領是現代數學的核心之一。它把數論，代數幾何，代數數論，調和分析，表示論很深刻的聯繫在一起。目前認為解決Langlands綱領的主要工具是跡公式。在Endoscopy理論中，Arthur在假設基本引理成立的條件下，於2003年完成了穩定跡公式的證明。2008年，Ngo完成了基本引理的證明，他也因此獲得了2010的菲爾茨獎。因此我們獲得了無條件的穩定跡公式。我們同時也建立了約化群與它的Endeoscopy群之間的函子性。Langlands綱領的一大類情形由此獲得了證實。Arthur-Selberg跡公式的發展與套用成為Langlands綱領中的一個重要的主題。跡公式的發展主要有兩個方向，一個發展方向是找到更本質的，更基本的跡公式。這自然是最具挑戰性的難題。Langlands提倡了Beyond endoscopy理論，希望能回答這個問題，但就目前來說基本上看不到希望。自然的想法是去尋是否有相對於Endoscopy理論的更本質，更一般的推廣方式。目前也是處於探索階段。第二個方向是跡公式的具體化。通過跡公式的具體化，我們希望能更好的理解跡公式的譜項的穩定分布的幾何解釋。因為Arthur的穩定跡公式的主要組成部分是穩定分部（幾何項和譜項），Arthur只是通過誘導的方式定義了穩定分部的存在性。並沒有給出穩定分布的具體表達式。因此本項目的目的是給出局部跡公式的穩定分布的具體公式。我們很好完成了本項目的目標。這個目標的完成分成兩部分，第一部分是對橢圓的情形給出具體的穩定分布。我們具體構造了關於重要特徵與Endoscopy群的表示的轉換因子，給出穩定局部跡公式的具體公式，以及Weyl 公式的穩定化，通過兩個穩定公式的對照我們獲得了穩定分布的具體公式。同時我們也能給出表示的重數公式。第二部分是給出一般情形的穩定局部跡公式。這些成果已經發表。這個項目的完成，為未來我們能在跡公式的發展以及套用方面做出更多深入的研究奠定了一些基礎。