穩定分布是一類無窮可分分布，稱隨機變數X的機率分布為穩定的，如果對於任意實數a1>0，a2>0，b1和b2，存在實數a>0和b，使其分布函式F(x)滿足條件：F(a1x+b1)*F(a2x+b2)=F(ax+b)，其中“*”表示函式的卷積運算。直觀上，如果同一類型分布的卷積分布仍為此種類型，則分布稱做穩定的。 穩定分布都是無窮可分分布，如退化分布、常態分配、柯西分布等。獨立同分布隨機變數和的極限分布是穩定分布， 穩定分布都是某獨立同分布隨機變數和的極限分布。
基本介紹
- 中文名：穩定分布
- 外文名：stable distribution
- 所屬學科：數學
- 別名：α穩定分布
- 屬性：一類無窮可分分布
- 舉例：退化分布、常態分配、柯西分布等
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穩定分布的定義
穩定性定義
如果對於任意正數A和B，存在正數C和一個實數D∈R，使得
此定義表明，
穩定隨機變數的加法是封閉的，而且其機率密度函式的卷積也是封閉的。若
是相互獨立的穩定隨機變數，並且具有相同的
參數，則其線性組合
也服從穩定分布，並且具有相同的參數。
定理1 如果對任意穩定隨機變數X，總均存在數
使得C滿足
吸引域定義
特徵函式定義
式中：
為符號函式。可見，
穩定分布的特徵函式完全由4個參數
唯一確定。符合特徵函式式(4)的4個參數稱為標準參數系S，並記為
。
(1) 
稱為特徵指數（Characteristic Exponent），它決定了穩定分布的機率密度函式拖尾厚度。它的值越小，分布的拖尾也就越厚，所以分布的衝擊性越強，即偏離中值的樣本個數越多：隨著值的不斷增大，分布的拖尾將變淺，衝擊強度降低，如圖1和圖2所示。特別說明，穩定分布當=2時退化為高斯(Gauss)分布，當=1並且
時為柯西(Cauchy)分布，為此我們定義0<<2為分數低階穩定分布，以區別於=2的高斯分布。
(2) γ為尺度參數(Scale parameter)或分散係數(Dispersion)，它是關於分布樣本偏離其均值的一種度量，其意義類似於高斯分布時的方差。實際上，在高斯分布情況下γ為方差的兩倍。
(3) β為偏斜參數(Skewness parameter)，它決定了分布的對稱程度。當β=0時，該分布是對稱的，通常稱為對稱α穩定(Symmetric α-Stable，SaS)分布。高斯分布和柯西分布都屬於對稱α穩定分布，β>0和好β<0分別對應分布的左偏和右偏。
圖1標準對稱α穩定分布的機率密度函式
圖2α穩定機率密度函式的拖尾特性(4) δ為位置參數(Location parameter)。考慮到特徵函式與其機率密度函式互為傅立葉變換，所以式4中的指數項
表征了機率密度函式在X軸的偏移。對於
分布而言，δ表示分布的均值1<α≤2或中值0<α≤1。當γ=1且δ=0時，則α穩定分布稱為標準
穩定分布。
穩定分布的性質
α穩定分布
具有以下基本性質：
性質1
若
和
均是獨立的穩定隨機變數，那么
其中
性質2
若，並且
為非零實常數，
為實數，那么
性質3
對於任意0<α<2，有
。對於β>0，稱
是左偏斜的：對於
β<0，稱是右偏斜的。當β=1和β=－1時，分別對應完全左偏斜和完全右偏斜。
性質4
若且唯若β=0時，關於δ對稱的：若且唯若β=0且δ=0時，關於0對稱。
性質5
若，並且
那么存在兩個獨立同分布的隨機變數
，具有分布
使下式成立，即
性質6
當
並且γ取固定值時，如果
，且有
則對於所有的x滿足
性質7
若，且則對任意
有
