相對維數函式是一種投影運算元的函式。由於相對維數函式值域的情況與因子的分類相一致，所以因子分類又稱維數理論。
基本介紹
- 中文名：相對維數函式
- 外文名：relative dimension function
- 適用範圍：數理科學
簡介,性質,推廣,
簡介
相對維數函式是一種投影運算元的函式。
設𝓜是一個因子，𝓜是𝓜的正元全體，Φ是𝓜上的一個忠實正規跡。當𝓜是純無限時，Φ在𝓜的非零元處的值恆為+∞；當𝓜是半有限時，要求Φ也是半有限的，這樣的Φ除去一個常數因子λ(0<λ< +∞)外是惟一的。記M為𝓜的投影運算元之集合，Φ到M上的限制稱為相對維數函式，通常記為D。
性質
相對維數函式具有下述性質：
1.如P是有限投影，則D(P)< +∞。
2.如P是無限投影，則D(P)=+∞。
3.如P,Q是兩個有限投影使得D(P)= D(Q)（或D(P)≤D(Q)），則P~Q（或P≤Q）。
推廣
將相對維數函式D乘上適當的常數，D的值域D可以取作如下集合：
1.如果𝓜是In型，n為有限(或n=+∞)，則𝒟={0,1,2,...,n}(或𝒟={0,1,2,...,+∞})。當𝓜=𝓑(H)時，即𝓜為希爾伯特空間H上的有界線性運算元全體時，則D(P)=dimP(H)，這裡把所有無窮基數都視為+∞。
2.若𝓜是I型的，則𝒟是區間[0,1]。
3.若𝓜是I型的，則𝒟是區間[0,+∞]。
4.若𝓜是I型的，則𝒟={0,+∞}。
由於相對維數函式值域的情況與因子的分類相一致，所以因子分類又稱維數理論，這是馮·諾伊曼(von Neumann,J.)等人於20世紀30年代作出的。
