直積映射

映射亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。

直積映射(direct product mapping)一種特殊的映射，即由若干個映射導出的，定義在它們的定義域的直積上的映射。

基本介紹

• 中文名：直積映射
• 外文名：direct product mapping
• 領域：數學
• 性質：特殊的映射
• 定義：若干映射定義域的直積上的映射
• 記號：g=f1×f2

概念

直積映射是一種特殊的映射。即由若干個映射導出的，定義在它們的定義域的直積上的映射。設f_i：A_i→B_i(i=1，2)是映射。定義映射g：A₁×A₂→B₁×B₂，使〈a₁，a₂〉∈A₁×A₂時，g(〈a₁，a₂〉)=〈f₁(a₁)，f₂(a₂)〉，g稱為映射f₁與f₂的直積映射。記為g=f₁×f₂。一般地，設{f_m：A_m→B_m}_m∈M為映射族，可定義映射：

當

時，

g稱為{f_m}_m∈M的直積映射。記為：

映射

設A與B是兩個集合，如果對於A中的每一個元素a，在某個對應規則T的作用下，總有B中的一個，且只有一個b和這個a對應，就稱T是A到B中的映射(有時限於A=B的情況)，並稱b是a在映射T作用下的映像或像，而稱a是b的一個原像。如果A的不同元素有不同的像，並且B中每一個元素都有原像，則稱此映射為A到B上的一一映射(即一一映射)

“map”的原意是地圖。人們是從地圖製圖學中的球極投影，引出映射概念的。

亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z)。這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY。f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f).終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象.y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。.對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

直積

直積又叫笛卡爾（Descartes）乘積。設( G1，* )、( G2，· )是兩個群，有各自的乘法 *、· 和各自的單位元e、l，分別從G1和G2中任取一個元素組成所有可能的有序對，組成的集合記作G1×G2，在上面定義一個運算◎，對於G1×G2中任意兩個元素(a1,B1)、(a2,B2)，規定(a1,B1) (a2,B2)=(a1 * a2,B1 · B2)，這叫做G1和G2的直積，記作{ G1×G2, ◎ }，單位元是(e,l)。

設A、B是任意兩個集合，在集合A中任意取一個元素x，在集合B中任意取一個元素y，組成一個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新的元素，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。

例如，R×R =〡(x,y)〡x∈R,y∈R〡即為xOy面上全體點的集合，R×R常常記作R²。

關係

集合AB的元素個數為m、n，那么，從集合A到集合B的映射的個數為n的m次。

函式和映射，滿映射和單映射的區別。

函式是數集到數集映射，並且這個映射是“滿”的。

即滿映射f: A→B是一個函式，其中原像集A稱做函式的定義域，像集B稱做函式的值域。

“數集”就是數字的集合，可以是整數、有理數、實數、複數或是它們的一部分等等。

“映射”是比函式更廣泛一些的數學概念，它就是一個集合到另一個集合的一種確定的對應關係。即，若f是集合A到集合B的一個映射，那么對A中的任何一個元素a，集合B中都存在唯一的元素b與a對應。我們稱a是原像，b是像。寫作f: A→B，元素關係就是b = f(a).

一個映射f: A→B稱作“滿”的，就是說對B中所有的元素，都存在A中的原象。

在函式的定義中不要求是滿射，就是說值域應該是B的子集。（這個定義來源於一般中學中的講法，實際上許多數學書上並不一定定義函式是滿射。）

象集中每個元素都有原象的映射稱為滿射 ：

即B中的任意一元素y都是A中的像，則稱f為A到B上的滿射，強調f(A)=B（B的原象可以多個）

原象集中不同元素的象不同的映射稱為單射 ：

若A中任意兩個不同元素x1≠x2,它們的像f(x1)≠f(x2)，則稱f為A到B的單射，強調f(A)是B的子集

單射和滿射可共同決定為一一雙射。