盈虧問題(problem about profit and loss)亦稱盈不足問題，典型套用題之一。盈虧問題是把一定數量的物品平均分給一定數量的人，由於物品和人數都未知，只已知在兩次分配中一次是盈(有餘)，一次是虧(不足);或者兩次都盈餘，或者兩次都虧的數量時，求參加分配的物品總量及人員總數。這類問題稱為盈虧問題。也稱為盈不足問題。為我國古代數學書《九章算術》研究的項目之一。基本運算公式為：(盈+虧)÷(兩次分得之差)=人數；(大盈-小盈)÷(兩次分得之差)=人數；(大虧-小虧)÷(兩次分得之差)=人數。
基本介紹
- 中文名：盈虧問題
- 外文名：problem about profit and loss
- 別名：盈不足問題
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：算術(套用問題)
基本介紹,例題解析,
基本介紹
盈虧問題指一定人數平均分一定數量的物品，每人分得少則有餘，每人分得多則不足的套用題.其計算公式為：
(盈+虧)÷每人兩次所得差=人數；
兩盈相減÷每人兩次所得差=人數；
兩虧相減÷每人兩次所得差=人數；
每人所得數×人數+盈=物數；
每人所得數×人數－虧=物數。
盈虧問題最早見於中國的《九章算術》，後來傳到亞細亞和歐洲，在歐洲代數學沒有發達以前，曾廣泛使用此法達幾百年之久，直到1675年，義大利的數學書中還稱這方法為la regola del cataino(意為中國算法)。《九章算術》稱盈虧問題為原術，書中原文為：“今有(人)共買物，人出八，盈三;人出七，不足四；問人數物價各幾何。”這段文字譯為今文是：幾人共同出錢買東西，每人出8元則多3元，若每人出7元則少4元，求人數和物價。
例題解析
盈是多餘的意思，虧是不足的意思。平時在分物品時或者安排其他工作時，經常會遇到多餘或是不足的情況，可以根據多餘以及不足的數量引出解題的線索。這類套用題通常叫做盈虧問題。
例1 一個植樹小組去栽樹，如果每人栽4棵，還剩下13棵樹苗;如果每人栽6棵，就缺少15棵樹苗。求這個小組有多少人?一共有多少棵樹苗?
解：已知每人栽4棵，還剩下13棵樹苗沒有栽上;如果每人栽6棵;就缺少15棵樹苗。一個是餘下了，一個是不足，相差多少棵呢?相差(13+15)=28棵。這就是說，如果按照第二種辦法，可以比第一種辦法多栽28棵樹。為什麼出現這種情況呢?因為每人多栽2棵樹。
總之，由於每人多栽2棵樹，一共可以多栽28棵樹，這樣，小組的人數可以求得。隨之，樹苗的棵數也可以求出。
(1)這個小組有多少人?
(13+15)÷(6-4)=28÷2=14(人)
(2)共有樹苗多少棵?
4×14+13=56+13=69(棵)
或 6×14-15=84-15=69 (棵)
答：這個小組有14人，共有樹苗69棵。
例2 分鉛筆給兒童，如果每人分3支，則鉛筆餘下57支;如果每人分5支，鉛筆還多餘3支。求兒童多少人?鉛筆多少支?
解：兩種分配方法都有多餘。可以根據所余支數的不同，找出兩種分配方法共相差多少支鉛筆。再根據每個人所得鉛筆支數的差，即可求得兒童的人數。隨之，鉛筆的支數也可以求得。
(1)兒童人數：
(57-3)÷(5-3)=54÷2=27(人)
(2)鉛筆支數：
3×27+57=81+57=138(支)
或 5×27+3=135+3=138 (支)
答：兒童27人，鉛筆138支。
例3 學校在分配學生住宿時，原計畫每間房裡住4人，還有1間空房;後來又計畫每間房裡住5人，就能有3間空房。求學生宿舍多少間?住宿的學生多少人?
解：從住宿的學生人數來分析，第一次分配住宿的辦法，說明學生還沒有住滿宿舍，有1間空房，也可以說還缺少4名學生;第二次分配住宿的辦法，有3間空房，也可以說還缺少15名學生。兩種分配方案，都住不滿。根據所虧人數的不同，找出相差數，再根據每間房分配人數的差數，即可求出學生宿舍的間數。隨之，住宿的學生人數也可以求得。
(1)學生宿舍間數：
(5×3-4×1)÷(5-4)=(15-4)÷1=11(間)
(2)住宿的學生人數：
4×(11-1) =40(人)
或 5×(11-3)=40 (人)
答：學生宿舍11間，住宿的學生40人。
