瑞利-里茲法(瑞利-里茲法)

也稱為里茲法，是通過泛函駐值條件求未知函式的一種近似方法。英國的瑞利於1877年在《聲學理論》一書中首先採用，後由瑞士的W.里茲於1908年作為一個有效方法提出。這一方法在許多力學、物理學、量子化學問題中得到套用。

同時它也是廣泛套用於套用數學和機械工程領域的經典數值方法，它可以用來計算結構的低階自然頻率。它是直接變分法的一種，以最小勢能原理為理論基礎。通過選擇一個試函式來逼近問題的精確解，將試函式代入某個科學問題的泛函中，然後對泛函求駐值，以確定試函式中的待定參數，從而獲得問題的近似解。

基本介紹

• 中文名：瑞利-里茲法
• 外文名：Rayleigh-Ritzmethod
• 別稱：里茲法
• 發明時間：1877年
• 發明人：瑞利

原理：

此法假定待求函式f(x)為n個已知函式 Wi(x)的線性組合：

式中αi為未知常係數。通過由f(x)組成的泛函嗘[f(x)]取駐值的條件(駐值條件對應於已知的物理定律或定理)得到n個方程，

由此解出n個未知常係數αi，從而得到f(x)。這一理論還可推廣到多維問題。

在求解彈性體位移時，先假定彈性體內沿x、y、z方向的位移u、v、w分別由一系列已知的滿足彈性體全部位移邊界條件的連續函式u_i（x，y，z）、v_i（x，y，z）、w_i（x，y，z）（i=1，2，…，n）疊加而成，即

式中A_i、B_i、C_i為待求係數，共3n個。將u、v、w代入作為泛函的總勢能Π的表達式，根據彈性學最小勢能原理，總勢能變分為零，即有駐值條件：

這是關於3n個待求係數A_i、B_i、C_i的3n個代數方程。解出3n個未知係數便得到全部位移。通過對位移進行微商並利用應力-應變關係就得到應力。由於瑞利-里茲法假設的位移函式u、v、w可以不滿足力的邊界條件，所以位移函式的構成比較容易，計算也比較方便，但有時求出的應力誤差較大。

在振動問題中，如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合，而以瑞利商（見瑞利原理）作為位移的泛函，則利用瑞利商取駐值時條件，就可求出物體振動的固有頻率的近似值。

套用：

在機械工程領域，它被用於計算多自由度系統（如彈簧-質量系統、變截面軸上的飛輪）大致的共振頻率；還可以計算圓柱體的折斷載荷。瑞利-里茲法是瑞利法的擴展。

以下的討論舉一個最簡單的例子（2個集中彈簧和2個集中質量，並只考慮2個模態振型）。因此 M = [m1, m2] 且 K = [k1, k2].

為該系統假設一個由兩項組成的模態振型，其中一個用因數 B加權。例如Y = [1, 1] + B[1, –1]。

簡諧運動理論認為撓度等於0時的速率為角頻率ω乘以最大撓度(y)。本例中，每個質量的動能(KE)等於

等等，而每個彈簧的勢能(PE)等於1/2k1Y1^2等等。對於連續系統，該表達式要麻煩得多。

因為引入了無阻尼假設，因此整個系統當y=0時的KE等於v=0時的PE。由於不存在阻尼，系統各點同時達到v=0的狀態。

因此，由KE = PE得：

注意模態振型的實際振幅總會從兩邊消去。也就是說，假設撓度的真正數值並不重要。我們在意的是振型。

由於ω與B有關，為了找到最小的ω，我們令dω / dB = 0。此時的B的取值可以使得ω最小。由於振型是假設的，通過該方法得到的ω是需要預測的基頻的上界。我們需要得到的是這個上界的最小值。

該方法有很多技巧，最重要的是試圖找到儘量真實的假設振型。例如在梁的撓曲問題中，使用一個儘量接近真實解得變形模態是明智的。對於大部分簡單的梁連線問題，即使振型的階次很低，一個四次的函式就足夠了。彈簧和質量並不必離散，它們可以使連續的或者是雜糅的。只要能夠描述分散式的KE和PE，或把連續的單元離散，該方法可以很容易編程來找到複雜分散式系統的自然頻率。

該方法可以反覆疊代使用，把附加的模態振型疊加到先前的最佳解上。也可以建立一個用許多參數B和振型組合的長表達式，最後對它們求偏導。

在振動問題中，如果將物體的可能位移表達為若干給定的位移的線性組合，而以瑞利商（見瑞利原理）作為位移的泛函，則利用瑞利商取駐值的條件，就可求出物體振動的固有頻率的近似值。

與伽遼金法的區別：

里茲法本質是基於最小能量原理的，而伽遼金是一種加權餘量法，只是當我們取權函式為形函式時（權函式可以很多取法，比如最小二乘什麼之類的），這個時候兩者是等效的。

所以兩者雖然在某個特定的條件是等效的（注意一般是用“等效”，而少用相同），但是本質是思路是不同的。

里茲法本質上和現在我們用的常用的很多有限元法是一樣的，區別在於里茲法是基於全域的，而有限元是基於單元假設形函式的。很顯然，基於全域的話形函式是非常難的，除非非常簡單的形狀，這也是為什麼里茲法不能普遍的解決問題，因為它沒有利用離散（離散就形函式簡單，可以利用計算機的數值計算能力）。