球多極矩

向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r 表示；而其大小則用r 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號,源變數的標記的後面有單撇號.

對於與源位置的距離呈反比的位勢，其球多極展開所得到的係數稱為球多極矩。例如，電勢、磁向量勢、重力勢等等，都是這種位勢。

基本介紹

• 中文名：球多極矩
• 分類：數理科學

點電荷案例

源位置為 的點電荷，其電勢 在場位置 為

其中，是電常數， 是 與 之間的夾角。

假設 ，場位置比源位置離原點更遠，則此距離倒數函式 以 的冪和勒讓德多項式展開為

套用球餘弦定律（spherical law of cosine）， 表示為

。

這結果也可以直接用向量代數直接計算出來。

套用球諧函式加法定理， 又表示為

；

其中，是球諧函式。

將這方程式代入電勢的方程式，可以得到

。

點電荷的“球多極矩” 定義為

。

則電勢的方程式又可寫為

假設 ，場位置比源位置離原點更近，則此距離倒數函式 可以以 的冪和勒讓德多項式展開：

。

點電荷的“內部球多極矩”（前述的球多極矩稱為外部球多極矩）定義為

。

則電勢的方程式寫為

。

電荷密度案例

前述多極展開方法可以推廣至電荷密度分布。將點電荷{\displaystyle q}改換為微小電荷元素 ，然後積分，則可得到電勢的方程式（假設）：

；

其中，電荷密度分布的球多極矩。

特別注意，由於電勢 為實值，這展開式的復共軛也是同樣正確的球多極展開式。然而，這樣做會導致球多極矩的定義式含有 項目，而不是其復共軛數 。在某些領域，例如物理化學，這是一般常規。更詳盡資料，請參閱條目分子多極矩（molecular multipole moment）。

內部球多極矩

類似地，假設 ，場位置比源位置離原點更近，則電勢的方程式為

；

其中，電荷密度分布的內部球多極矩定義為

。