《現代分析及其套用引論(科學版)》用較短的篇幅介紹了流形上的微積分及其套用。書中的前三章的內容是預備知識，第4章到第9章分別介紹微分流形、流形上的向量場、微分形式與積分、de Rham上同調、映射度及奇異性等基本概念和理論，同時介紹了若干典型的套用。第10章是全書內容的一個綜合套用。
《現代分析及其套用引論(科學版)》敘述簡明，注重概念與實例，信息量較大，適合作為非數學專業的理工科研究生的數學教材或教學參考書。也可作為物理、力學工作者及工程技術人員自學的入門讀物。
基本介紹
- 書名：現代分析及其套用引論
- 出版社：科學出版社
- 頁數：186頁
- 開本：16
- 品牌：科學出版社
- 作者：古志鳴
- 出版日期：2004年1月1日
- 語種：簡體中文
- ISBN：7030120094, 9787030120090
內容簡介,圖書目錄,序言,
內容簡介
《現代分析及其套用引論(科學版)》：研究生教學叢書。
圖書目錄
第1章 映射與等價關係
1.1 映射
1.2 映射的複合
1.3 可逆映射
1.4 笛卡兒積
1.5 等價關係
第2章 代數預備知識
2.1 線性空間與線性映射
2.2 內積空間
2.3 對偶空間
2.4 多重線性函式
2.5 非退化雙線性函式
2.6 外代數
2.7 群
2.8 同態
2.9 商群
2.10 環與域
2.11 模
2.12 自由模
2.13 群在集合上的作用
第3章 Rn上的微分學
3.1 Rn上的點集拓撲學
3.2 可微映射
3.3 Taylor公式
3.4 反函式定理與隱函式定理
3.5 同胚與微分同胚
第4章 微分流形
4.1 微分流形的概念
4.2 可微映射
4.3 切空間
4.4 二次超曲面
4.5 切叢
4.6 套用：流形上的函式的極值
4.7 子流形
4.8 Riemann度量
第5章 流形上的向量場
5.1 常微分方程組與向量場
5.2 基本定理
5.3 相流
5.4 線性系統
5.5 套用：非線性電路的微分方程
5.6 Poisson括弧
5.7 單位分解
第6章 微分形式與積分
6.1 餘切空間
6.2 微分形式
6.3 外微分運算
6.4 Poincare引理
6.5 定向
6.6 鏈上的積分
6.7 微分形式的套用(I)
6.8 微分形式的套用(Ⅱ)
6.9 微分形式的套用(Ⅲ)
第7章 同調與上同調
7.1 de Rham上同調
7.2 同倫
7.3 奇異同調群
7.4 de Rham定理
7.5 套用：Brouwer不動點定理
第8章 映射度
8.1 正則值與映射度
8.2 積分與映射度
8.3 套用
第9章 Morse函式與奇異性
9.1 Morse函式
9.2 有關奇異性的一些基本概念
9.3 余維數與有限決定性
9.4 余維數不超過5的情形
9.5 套用
第10章 流形上的力學
10.1 位形空間與狀態空間
10.2 辛結構
10.3 Hamilton力學
10.4 首積分與對稱性
參考文獻
索引
1.1 映射
1.2 映射的複合
1.3 可逆映射
1.4 笛卡兒積
1.5 等價關係
第2章 代數預備知識
2.1 線性空間與線性映射
2.2 內積空間
2.3 對偶空間
2.4 多重線性函式
2.5 非退化雙線性函式
2.6 外代數
2.7 群
2.8 同態
2.9 商群
2.10 環與域
2.11 模
2.12 自由模
2.13 群在集合上的作用
第3章 Rn上的微分學
3.1 Rn上的點集拓撲學
3.2 可微映射
3.3 Taylor公式
3.4 反函式定理與隱函式定理
3.5 同胚與微分同胚
第4章 微分流形
4.1 微分流形的概念
4.2 可微映射
4.3 切空間
4.4 二次超曲面
4.5 切叢
4.6 套用：流形上的函式的極值
4.7 子流形
4.8 Riemann度量
第5章 流形上的向量場
5.1 常微分方程組與向量場
5.2 基本定理
5.3 相流
5.4 線性系統
5.5 套用：非線性電路的微分方程
5.6 Poisson括弧
5.7 單位分解
第6章 微分形式與積分
6.1 餘切空間
6.2 微分形式
6.3 外微分運算
6.4 Poincare引理
6.5 定向
6.6 鏈上的積分
6.7 微分形式的套用(I)
6.8 微分形式的套用(Ⅱ)
6.9 微分形式的套用(Ⅲ)
第7章 同調與上同調
7.1 de Rham上同調
7.2 同倫
7.3 奇異同調群
7.4 de Rham定理
7.5 套用：Brouwer不動點定理
第8章 映射度
8.1 正則值與映射度
8.2 積分與映射度
8.3 套用
第9章 Morse函式與奇異性
9.1 Morse函式
9.2 有關奇異性的一些基本概念
9.3 余維數與有限決定性
9.4 余維數不超過5的情形
9.5 套用
第10章 流形上的力學
10.1 位形空間與狀態空間
10.2 辛結構
10.3 Hamilton力學
10.4 首積分與對稱性
參考文獻
索引
序言
自從大數學家B.Riemann提出n維流形的概念至今已有150年了。流形概念相對於歐氏空間概念的進步，可以形象地比作“大地是球形的”思想相對於古人認為的“大地是平坦的”思想的進步。由於其進步意義是眾所周知的，所以在20世紀的數學領域中，流形成為最重要的研究對象之一，就是完全可以理解的了。與此同時，流形上的微積分（古典微積分是它的特例）也迅速從數學界傳播到物理學、力學及工程技術界，被視為掌握現代科學技術的一門必備的知識。本書即從套用的角度介紹這一理論中最基本的內容。我們想要達到的目的是使讀者在較短的時間內了解現代數學這一主流分支的大意和基本語言。
由於本書預設的讀者對象是非數學專業的人員，所以我們在本書前3章中簡單地討論了一些必需的預備知識，第1章介紹集合論的基本知識，它實際上是學習任何一門數學都需要的。第2章介紹代數學的預備知識，沒有這些代數工具，許多現代數學的理論就很難敘述和系統化。第3章討論歐氏空間的微分學，它是理解流形概念的前提，其理由是，流形上的每一點的附近都像歐氏空間中的一“小塊”。
從第4章到第6章，我們介紹流形的概念，並討論流形上的微分學和積分學的基本理論，這些內容是本書的核心部分。
流形與歐氏空間的本質區別是整體性質不同，要理解這一點，非有拓撲學的知識不可。本書用講座的方式介紹了最基本的代數拓撲學與微分拓撲學的初步知識，這些便是第7章和第8章的內容。第9章介紹奇異性理論的入門性內容，對於了解流形上的映射的整體性質而言，奇異性是重要的關節點，它往往起到四兩撥千斤的作用。
由於本書預設的讀者對象是非數學專業的人員，所以我們在本書前3章中簡單地討論了一些必需的預備知識，第1章介紹集合論的基本知識，它實際上是學習任何一門數學都需要的。第2章介紹代數學的預備知識，沒有這些代數工具，許多現代數學的理論就很難敘述和系統化。第3章討論歐氏空間的微分學，它是理解流形概念的前提，其理由是，流形上的每一點的附近都像歐氏空間中的一“小塊”。
從第4章到第6章，我們介紹流形的概念，並討論流形上的微分學和積分學的基本理論，這些內容是本書的核心部分。
流形與歐氏空間的本質區別是整體性質不同，要理解這一點，非有拓撲學的知識不可。本書用講座的方式介紹了最基本的代數拓撲學與微分拓撲學的初步知識，這些便是第7章和第8章的內容。第9章介紹奇異性理論的入門性內容，對於了解流形上的映射的整體性質而言，奇異性是重要的關節點，它往往起到四兩撥千斤的作用。
