物理試驗設計

物理試驗設計是指藉助於物理學的知識，首先通過量綱分析法確定指標項與因子項，然後進行實物試驗以尋求經驗公式或最佳條件的試驗設計方法。量綱分析法是物理試驗設計的根本方法，通過分析可以使問題簡化(減少試驗因子和試驗次數)，從而減少工作量。

基本介紹

• 中文名：物理試驗設計
• 外文名：physical design of experiment
• 所屬學科：數理科學
• 根本辦法：量綱分析法
• 重要定理：白金漢定理
• 相關概念：量綱式，基本量，導出量等

基本概念

所謂物理試驗，是指藉助物理學的知識，首先通過量綱分析法，確定指標項與因素項，然後進行試驗，從而尋求經驗公式或最佳條件，它是經過物理分析和實物試驗之後完成的，所以叫物理試驗法。

物理量和它的量綱式

由物理學可知，物理量分為基本量和導出量，物理公式在確定物理量的數量關係的同時，也確定了物理的單位關係。因此，只要確定幾個基本量的單位，就可以推導出其他物理量(導出量)的單位。

在國際單位制(SI)中所確定的基本物理量(基本量)有：長度、質量、時間、熱力學溫度等，其相應的單位是m(米)、kg(千克)、s(秒)、K(開[爾文])等。在運算過程中，這些基本量的量綱又可分別用符號L、M、T、來表示。

任何物理量都可以用基本量來表示。表示一個物理量是由哪些基本量組成和怎樣組成的式子叫做該物理量的量綱式。在量綱式中所帶的各個指數，就是該物理量對於所取基本量的量綱。例如，某物理量Q的量綱式為

其中分別叫做物理量Q對於長度、質量和時間的量綱。

量綱分析

為了進行量綱分析，先研究簡單的物理力程。例如，質點運動方程

也可以寫成

或者

在方程(2)中，每一項的單位都是位移量單位，在量綱分析中，稱這種方程為量綱齊次式。

假設以t除(2)式，則可寫成

或

在這裡可以看到：方程(5)中的兩項代表無量綱的量，而且由原來存在4個物理量的表達式，演變成兩個無量綱的量的表達式。

一般可將原來的物理方程表示為

若用無量綱量表達，則為

推而廣之，可寫成

在這裡可以看到，無量綱量表達式的項數，總是比原來物理方程中的物理量的項數少，量綱分析法的最大優點，就在於此。它可以套用較少的參數來描述某一關係，從而簡化實際問題。

例題分析

例1 設簡支梁的最大撓度為d，長度為l，粱的材料彈性模量為F，截面積對中性軸的慣性矩為I，在梁長度的中點所受的集中載荷為P。試求無量綱項，並指出其項數。

在本例中，現有的物理量為共五項，即m=5；而基本量為L，M，T共三個，即n=3，所以，無量綱組數為m--n=2。

由物理知識可知，，是一個無量綱數，所以第一個無量綱組為；另一個無量綱組可以設定，設為

這就是量綱分析所得到的結果。

量綱分析雖然結束，但並未求出兩個無量綱組之間的關係，更未得到所需的理論公式。為了求得兩個無量綱組之間的關係，可假設

這樣，便可以把當做一個因素，然後取若干水平進行試驗，把做為指標，試驗後便可得到二者關係。

本例中作出的與間的關係曲線如圖1（b）所示。最後得到的關係為

或

這個結果與理論分析推導出來的結果非常接近。

由此可見，通過量綱分析，不論從理論方面還是從試驗方面，其工作量都大為減少。假如不用量綱分析法，試驗設計時，把梁的撓度d做為試驗指標，把影響撓度的因素包括梁的長度l、彈性模量E、截面矩I，和載荷p做為因子，則需設計多因素多水平的試驗，就需要用多個不同的梁，加上不同的載荷，進行許多次的試驗。而用量綱分析法，則只需一條簡支梁進行單因素試驗即可完成。

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圖1(a) 兩個無量綱組d/l與Pl<sup class=

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圖1(b) 兩個無量綱組d/l與Pl<sup class=

π定理——白金漢定理

上述方程中的兩個無量綱組，都是根據專業知識設定的。但是，在一般情況下，究竟怎樣尋求無量綱組的組數和無量綱組形式呢?這就要用量綱分析法中的一個主要定理——π定理(或稱白金漢定理)。其內容如下： “設有m個物理量用n個基本量表示為量綱表達式，同時，m個物理量有關地存在於一個齊次量綱物理方程中，則m令物理量可用(m-r)個無量綱乘積表示，而r(≤n)在這裡為m個物理量所組成的矩陣之秩”。