無窮降鏈

給定帶有偏序≤的一個集合S，無窮降鏈是鏈V，就是說在其上≤定義了全序的S的子集，使得V沒有最小元素，也就是元素m它使得對於在V中所有元素n有著m ≤ n。

基本介紹

• 中文名：無窮降鏈
• 外文名：Infinite descending chain
• 分類：數理科學

簡介

舉例，在整數的集合中，鏈−1, −2, −3, ...是無窮降鏈，但是在自然數上沒有無窮降鏈，所有自然數的鏈都有一個極小元素。

如果偏序集合不包含任何無窮降鏈，則稱它為良基的。沒有無窮降鏈的全序集合是良序的。

良基

在數學中，類X上的一個二元關係R被稱為是良基的，若且唯若所有X的非空子集都有一個R-極小元；就是說，對X的每一個非空子集S，存在一個S中的元素m使得對於所有S中的s，二元組 (s,m) 都不在R中。

等價的說，假定某種選擇公理，一個二元關係稱為是良基的，若且唯若它不包含可數的無窮降鏈，也就是說不存在X的元素的無窮序列x0,x1,x2, ...使得對所有的自然數n有著xn+1Rxn。

在序理論中，一個偏序關係稱為是良基的，若且唯若它對應的嚴格偏序是良基的。如果這個序還是全序，那么此時稱這個序為良序。

在集合論中，一個集合x稱為是一個良基集合，如果集成員關係在x的傳遞閉包上是良基的。策梅洛-弗蘭克爾集合論中的正則公理，就是斷言所有的集合都是良基的。

升鏈條件

數學上，偏序集P適合升鏈條件，若任意P的元素的升鏈a₁≤a₂≤...最終固定，就是說存在正整數n，使得對所有m>n，有a_m=a_n。類似地，P適合降鏈條件，若任意P的元素的降鏈a₁≥a₂≥...最終固定（就是說不存在無窮降鏈）。

P的升鏈條件等價於最大條件：所有P的非空子集都有極大元。類似地，降鏈條件等價於最小條件：所有P的非空子集都有極小元。

所有有限偏序集都適合升鏈和降鏈條件。適合降鏈條件的全序集稱為良序集。