基本介紹
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內容介紹
本書系統地介紹了Malliavin分析和白噪聲分析這兩個無窮維隨機分析重要領域.全書分五章.第一章介紹無窮維分析的基礎知識，包括Hilbert空間中的線性運算元、Fock空間、核空間及其對偶、拓撲線性空間上的Borel 測度;第二章介紹Malliavin隨機變分的基本理論;第三章介紹隨機變分的若干重要套用，包括Hormander定理的機率證明，抽象Wiener空間上的位勢理論和擬必然分析，非適應隨機分析;第四章介紹白噪聲分析的一般理論，包括一般框架，泛函空間的刻畫，泛函的乘積和Wick積;第五章介紹廣義泛函的分析運算及廣義泛函空間中的運算元理論，並簡要介紹了它們在量子物理中的套用.
目錄
目錄
第一章 無窮維分析的基礎知識 1
§1 Hilbert空間中的線性運算元 1
1.1 基本概念、記號及若干引理 1
1.2 可閉運算元、對稱運算元與自共軛運算元 5
1.3 下半有界對稱運算元的自共軛延拓 10
1.4 自共軛運算元的譜分解 12
1.5 Hilbert-Schmidt運算元與跡運算元 18
§2 Fock空間與二次量子化 24
2.1 Hilbert空間的張量積 24
2.2 Fock空間 30
2.3 二次量子化運算元 32
§3 賦可列范空間與核空間 36
3.1 賦可列范空間及其對偶空間 37
3.2 核空間及其對偶空間 42
3.3 拓撲張量積、Schwartz核定理 47
§4 拓撲線性空間上的Borel測度 51
4.1 Minlos-Sazanov定理 51
4.2 Hilbert空間上的Gauss測度 60
4.3 Banach空間上的Gauss測度 64
第二章 Malliavin隨機變分學 73
§1 Gauss機率空間與Wiener混沌分解 74
1.1 Gauss機率空間及其上的泛函 74
1.2 數值模型 79
1.3 多重Wiener-Ito積分表示 83
§2 泛函的微分運算、梯度與散度 89
2.1 有限維Gauss機率空間 89
2.2 光滑泛函的梯度與散度 95
2.3 泛函的Sobolev空間 100
§3 Meyer不等式及其推論 106
3.1 Ornstein-Uhlenbeck半群 106
3.2 LP乘子定理 111
3.3 Meyer不等式 114
3.4 Meyer-Watanabe廣義泛函 120
§4 非退化泛函的分布密度 125
4.1 Malliavin協方差陣及若干引理 125
4.2 分布密度的存在性 129
4.3 分布密度的光滑性 133
4.4 例 137
第三章 Wiener泛函的隨機變分 140
§1 Ito泛函的微分分析與熱核的正則性 140
1.1 Skorohod積分 140
1.2 隨機微分方程解的光滑性 146
1.3 亞橢圓性與Hormander條件 149
1.4 Hormander定理的機率證明 155
§2 Wiener空間中的位勢理論與擬必然分析 161
2.1（k，p）-容度 161
2.2 擬連續修正 165
2.3 容度的胎緊性、連續性與不變性 168
2.4 正廣義泛函與有限能量測度 172
2.5 隨機過程的擬必然軌道性質 176
§3 非適應隨機分析 179
3.1 Skorohod積分的Riemann和逼近 180
3.2 非適應過程的Ito公式 184
3.3 非適應隨機微分方程 193
第四章 白噪聲分析的一般理論 200
§1 白噪聲分析的一般框架 201
1.1 Wick張量積與Wiener-Ito-Segal同構 202
1.2 檢驗泛函與廣義泛函空間 205
1.3 經典的白噪聲分析框架 211
§2 泛函空間的刻畫 212
2.1 S-變換與空間（E）C-β（0≤β﹤1）的刻畫 213
2.2 局部S-變換與空間（E）C-1的刻畫 221
2.3 檢驗泛函空間的兩種刻畫 223
2.4 廣義泛函的若干例子 228
§3 泛函的乘積與Wick積 236
3.1 泛函的乘積 236
3.2 廣義泛函的Wick積 240
3.3 套用於Feynman積分 243
§4 廣義泛函空間的矩刻畫與正廣義泛函 245
4.1 重正化運算元 245
4.2 廣義泛函空間的矩刻畫 248
4.3 正廣義泛函的測度表示 250
4.4 套用於P（φ）2-量子場 259
第五章 廣義泛函空間中的線性運算元 264
§1 廣義泛函的分析運算 264
1.1 刻度變換 264
1.2 推移運算元與Sobolev微分 267
1.3 梯度運算元與散度運算元 272
§2 廣義泛函空間中的連續線性運算元 275
2.1 運算元的象徵與混沌分解 276
2.2 廣義運算元的S-變換與Wick積 282
§3 積分核運算元與運算元的積分核表示 288
3.1 張量積的縮合 288
3.2 積分核運算元 291
3.3 廣義運算元的積分核表示 299
§4 在量子物理中的若干套用 303
4.1 量子隨機積分 303
4.2 Klein-Gordon場 306
4.3 無窮維經典Dirichlet型 309
附錄A Hermite多項式與Hermite函式 317
附錄B 局部凸空間及其對偶 322
1 半范、範數與H范 322
2 局部凸拓撲線性空間、有界集 323
3 投影拓撲與拓撲投影極限 325
4 歸納拓撲與拓撲歸納極限 326
5 對偶空間和弱拓撲 327
6 相容性和Mackey拓撲 328
7 強拓撲和自反性 329
8 對偶映射 330
9 均勻凸空間和Banach-Saks定理 331
評註 332
參考文獻 337
名詞索引 360
符號說明 365
